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表象变换与矩阵元

news 2025/9/4 1:10:14

表象变换

一维粒子哈密顿量 $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$

$x$ 表象中 $x,p,H$ 的矩阵元

$(x)_{x'x''}=\left \langle x'| x|x''\right \rangle=\int\delta(x-x')x\delta(x-x'')dx=x'\delta(x'-x'')$

态的表象变换

$F:<k|\varphi>=a_k;F':<\alpha|\varphi>=a_\alpha$

$<a|\varphi>=\sum_k<a|k><k|\varphi>=\sum_kS_{\alpha k}a_k$

不难证明 $S^+S=SS^+=I$

算符的表象变换

$L_{jk}=<j|\hat{L}|k>$

坐标表象

$<x|p'>=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}exp(ip'/\hbar)$

Non-denumerable basis

$<x|y>=\delta(x-y)$
$\hat{x}|x>=x|x>$
$\hat{x}^\dagger=\hat{x}\Rightarrow <x|\hat{x}=x<x|$
$\hat{p}^\dagger=\hat{p}\Rightarrow <p|\hat{p}=p<p|$
$p|x>=\hat{p}<x|=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}<x|$
$<\phi|\psi>=\int dx<\phi|x><x|\psi>=\int dx \phi^*(x)\psi(x)$
$<\phi|\hat{x}|\psi>=<\phi|\hat{x}\hat{1}|\psi>=\int dx<\phi|\hat{x}|x><x|\psi>=\int dx <\phi|x>x<x|\psi>=\int dx\phi^*(x)x\psi(x)$
$<x|p>=\frac{e^{ipx/\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}}$
$\frac{1}{2\pi}\int due^{i(p-p')u}=\delta(p-p')$

http://www.lryc.cn/news/223674.html

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