EM@圆和圆锥曲线的参数方程

abstract

• 圆和圆锥曲线的参数方程

圆的参数方程

匀速圆周运动的轨迹

• 圆可以看作是质点作匀速圆周运动下的轨道曲线
• 质点以匀角速度$\omega$作圆周运动,圆心在原点,半径为$R$
  • 下面建立运动的轨迹方程.
  • 记$t$为时间，运动开始时$t=0$，质点位于点$A$处,
    • 在时刻$t$，质点位于点$M(x,y)$处.
    • 由物理学知识，$\theta =\omega t$,$\theta$为$Ox$轴正向到向径$\overrightarrow{OM}$所成的角,
  • 因此得参数方程组(1):
    • $x=R\cos \omega t$;$y=R\sin \omega t$;$t⩾0$
• 这是圆周运动的轨迹方程,参数为$t$
• 也可以以$\theta =\omega t$作为参数(此时参数具有明显的意义),方程(2):
  • $x=R\cos \theta$;$y=R\sin \theta$;$\theta \in [0,2\pi ]$

从普通方程直接转化为参数方程

• 主要应用毕达哥拉斯三角恒定关系:${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$实现转换
• 方程(2)可以由圆的普通方程转化得出
  • $x^2+y^2=R^2$;即$(\frac{x}{R}{)}^2+(\frac{y}{R}{)}^2$=$1$
  • 令$\frac{x}{R}=\cos \theta$;$\frac{y}{R}=\sin \theta$,则得到方程(2)
• 这个方法对于其他的一些二次曲线也有效,例如圆锥曲线

任意位置圆心的方程

• 若圆心在点$M(x_0,y_0)$,半径为$R$,则圆的参数方程:
  • 坐标系$xOy$原点平移到$M$处得到的新坐标系记为$x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$,($O^{\prime },M$重合)

参数方程

• 以$x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$可建立参数方程$x^{\prime }=R\cos \theta$,$y^{\prime }=R\sin \theta$;
• 再根据平移的坐标变换公式,$x^{\prime }=x-x_0$,$y^{\prime }=y-y_0$,代入上述方程得:
  • $x-x_0=R\cos \theta$
  • $y-y_0=R\sin \theta$
• 即有方程(3):$\theta \in [0,2\pi ]$
  • $x=x_0+R\cos \theta$
  • $y=y_0+R\sin \theta$

一般方程

• $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=R^2$
• 代入坐标变换公式即有$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

例

• 圆心$(-1,2)$,半径为$3$的参数方程:$x=-1+3\cos \theta$,$y=2+3\sin \theta$

交点问题的参数方程法

• 设直线的参数方程为$x=1+t$;$y=1-t$(1);圆的方程为$x^2+y^2=4$(2)
• 将(1)代入(2)得:$(1+t{)}^2+(1-t{)}^2=4$;即$2(1^2+t^2)=4$,$t=\pm 1$
• 令$t_1=-1,t_2=1$,分别代入直线方程,的两个交点$(0,2)$,$(2,0)$

圆锥曲线的参数方程

• 某些研究领域中,圆锥曲线的参数方程比一般方程更加方便,尤其式椭圆的参数方程应用广泛

椭圆参数方程

• 设椭圆普通方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$;即$(\frac{x}{a}{)}^2+(\frac{y}{b}{)}^2=1$
• 令$\frac{x}{a}=\cos t$,则$(\frac{y}{b}{)}^2=1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t$;取$\frac{y}{b}=\sin t$
• 得中心在坐标原点时得椭圆参数方程(1):
  • $x=a\cos t$;$y=b\sin t$;$0\in [0,2\pi ]$
• 一般位置椭圆:
  • 若椭圆中心位于$M_0(x_0,y_0)$,则结合坐标平移变换公式得椭圆一般方程(1-1)
    • $x=x_0+a\cos t$;$y=y_0+b\sin t$;$t\in [t,2\pi ]$
  • 普通方程:$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$

例

• 设椭圆方程为$\frac{(x-1{)}^2}{3}+\frac{(y+2{)}^2}{5}=1$,求参数方程
  • 椭圆中心为$(1,-2)$,$a=\sqrt{3},b=\sqrt{5}$,
  • 参数方程为$x=1+\sqrt{3}\cos \theta$;$y=-2+\sqrt{5}\sin \theta$,$\theta \in [0,2\pi ]$

椭圆内接矩形的最大面积问题

• 设椭圆$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$,求其内接最大矩形面积
  • 椭圆参数方程为$x=5\cos t$,$y=4\sin t$
  • 设第一象限内椭圆上一点$M(x,y)$,由椭圆的对称性,内接举行的面积为
    • $S=4xy$=$4\times 5\cos t\times 4\sin t$=$40\sin 2t$
  • 可见,当$t=\frac{\pi }{4}$时,$S$取最大值$40$
  • 此时$M$坐标为$(\frac{5}{2}\sqrt{2},2\sqrt{2})$

抛物线参数方程

• 设抛物线普通方程为$y^2=2px$;

• 只需令$t=y$,则$x=\frac{y^2}{2p}=\frac{t^2}{2p}$,即得参数方程(1)

  • $x=\frac{t^2}{2p}$;$y=t$

• 但为了使形式更加协调,通常令$t=\frac{1}{2p}y$;即$y=2pt$,有方程(2)

  • $x=2p{t}^2$
  • $y=2pt$

一般位置的抛物线

• 由坐标平移变换公式,$y=2px$平移到点$M_0(x_0,y_0)$为定点的位置的曲线方程为$(y-y_0{)}^2=2p(x-x_0)$

  • 若仅作水平方向的平移,则$y_0=0$,从而方程为$y^2=2p(x-x_0)$=$2px-2p{x}_0$,顶点为$(x_0,0)$

    • $y^2=2px+\alpha$,则$\alpha =-2p{x}_0$,$x_0=-\frac{\alpha }{2p}$
    • 例如$y^2=2x-3$,变形为$y^2=2x-2\times \frac{3}{2}$;$(-3=-2)$
    • 即顶点为$(\frac{3}{2},0)$的和$y^2=2x$形状相同的抛物线

  • 若仅作竖直方程的平移,$(y-y_0{)}^2=2px$,顶点为$(0,y_0)$

    • 对于$(y+b{)}^2=2px$,其$b=-y_0$,$y_0=-b$,顶点为$(0,-b)$

    • 例如$(y-2{)}^2=2x$,其顶点为$(0,2)$

  • 

例

• 点$M(x,y)$为$y^2=2x$上的动点,给定$M_0(-1,0)$,点$P$为线段$M_{0}M$的中点;求点$P$的轨迹方程
  • 参数方程为:$x=2t^2$;$y=2t$;
  • 点$P(\frac{1}{2}(-1+2t^2),\frac{1}{2}(0+2t))$=$(-\frac{1}{2}+t^2,t)$
    • 可见$P$的轨迹的参数方程为:$x=-\frac{1}{2}+t^2$;$y=t$
    • 普通方程为$y^2=x+\frac{1}{2}$

双曲线的参数方程

• 设中心为坐标原点的双曲线的普通方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(1)
  • 参考三角恒等式${\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$
  • 令$\frac{x}{a}=\sec \theta$,$\frac{y}{b}=\tan \theta$,得参数方程(2)
    • $x=a\sec \theta$;$y=b\tan \theta$

点到双曲线的最短距离

• 点$M_0(x_0,y_0)$到$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的最短距离问题

例

• 设$M_0(0,2)$到双曲线$x^2-y^2=1$的最小距离$d$
  • 双曲线的参数方程为$x=\sec \theta$;$y=\tan \theta$
  • 设点$M(\sec \theta ,\tan \theta )$,则$|M_{0}M{|}^2$=$(\sec \theta -0{)}^2+(\tan \theta -2{)}^2$=$2{\tan }^2\theta -4\tan \theta +5$=$2(\tan \theta -1{)}^2+3$
  • 可见,当$\tan \theta -1=0$时,即$\theta =\frac{\pi }{4}$时,$|M_{0}M{|}^2$取最小值$3$,$|M_{0}M|$取最小值$\sqrt{3}$
  • 所以$d=\sqrt{3}$