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JAVA经典百题之找完数

news 2025/7/8 1:43:19

题目：一个数如果恰好等于它的因子之和，这个数就称为"完数"。例如6=1＋2＋3.编程找出1000以内的所有完数。

程序分析

首先，我们需要编写一个程序来找出1000以内的所有完数。"完数"是指一个数等于它的因子之和，因此，我们需要遍历每个数，计算它的因子并检查是否满足这个条件。

解题思路

我们可以使用三种不同的方法来实现这个程序：

暴力法：对每个数进行因子分解，并检查是否满足完数条件。
优化暴力法：减少因子的搜索范围，通过观察发现因子一定在 1 到 sqrt(n) 之间。
欧几里得算法：利用数论知识，将因子的搜索范围缩小到 sqrt(n) 以内。

1. 暴力法

程序实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class PerfectNumbers {public static boolean isPerfect(int num) {int sum = 1;  // 1 is always a factor of any numberfor (int i = 2; i <= num / 2; i++) {if (num % i == 0) {sum += i;}}return (sum == num);}public static List<Integer> findPerfectNumbers(int limit) {List<Integer> perfectNumbers = new ArrayList<>();for (int i = 2; i <= limit; i++) {if (isPerfect(i)) {perfectNumbers.add(i);}}return perfectNumbers;}public static void main(String[] args) {int limit = 1000;List<Integer> perfectNumbers = findPerfectNumbers(limit);System.out.println("Perfect numbers within 1 to " + limit + ": " + perfectNumbers);}
}

优缺点

优点：
- 实现简单，容易理解。
缺点：
- 算法效率较低，时间复杂度为 O(n^2)，对于较大范围的数需要大量计算。

2. 优化暴力法

程序实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class PerfectNumbers {public static boolean isPerfect(int num) {int sum = 1;  // 1 is always a factor of any numberfor (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {if (num % i == 0) {sum += i;if (i != num / i) {sum += num / i;}}}return (sum == num);}public static List<Integer> findPerfectNumbers(int limit) {List<Integer> perfectNumbers = new ArrayList<>();for (int i = 2; i <= limit; i++) {if (isPerfect(i)) {perfectNumbers.add(i);}}return perfectNumbers;}public static void main(String[] args) {int limit = 1000;List<Integer> perfectNumbers = findPerfectNumbers(limit);System.out.println("Perfect numbers within 1 to " + limit + ": " + perfectNumbers);}
}

优缺点

优点：
- 优化了因子的搜索范围，时间复杂度为 O(n*sqrt(n))，比暴力法效率高。
缺点：
- 仍然需要对每个数进行因子分解，效率仍然不是最优。

3. 欧几里得算法

程序实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class PerfectNumbers {public static boolean isPerfect(int num) {if (num <= 1)return false;int sum = 1;  // 1 is always a factor of any numberfor (int i = 2; i * i <= num; i++) {if (num % i == 0) {sum += i;if (i != num / i) {sum += num / i;}}}return (sum == num);}public static List<Integer> findPerfectNumbers(int limit) {List<Integer> perfectNumbers = new ArrayList<>();for (int i = 2; i <= limit; i++) {if (isPerfect(i)) {perfectNumbers.add(i);}}return perfectNumbers;}public static void main(String[] args) {int limit = 1000;List<Integer> perfectNumbers = findPerfectNumbers(limit);System.out.println("Perfect numbers within 1 to " + limit + ": " + perfectNumbers);}
}