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0401不定积分的概念和性质-不定积分

news 2025/8/25 16:11:28

文章目录

- 1 原函数与不定积分的概念
- - 1.1 原函数
  - 1.2 原函数存在定理
  - 1.3 不定积分
- 2 不定积分的性质
- 3 基本积分表
- 4 例题
- 后记

1 原函数与不定积分的概念

1.1 原函数

定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导航为f(x)，即对任一 $x∈Ix\in I$ ，都有

$F^{'}(x)=f(x)或者dF(x)=f(x)dx$ ,

那么函数F(x)就称为f(x)(或者 $f (x) d x$ )在区间I上的一个原函数。

1.2 原函数存在定理

原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I存在可导函数F(x)，使得对于任一 $x∈Ix\in I$ 都有

$F^{'}(x)=f(x)$

连续函数一定有原函数

如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数
$F (x) + C$ 可以表示 $f (x)$ 的任意一个原函数，其中C为任意常数

1.3 不定积分

定义2 在区间I上，函数 $f (x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f (x) （或 f (x) d x ）$ 在区间I上的不定积分，记做

$∫f(x)dx\int{f(x)dx}$

其中 $∫\int$ 称为积分号， $f (x)$ 称为被积函数， $f (x) d x$ 称为被积表达式，x称为积分变量。

注：

若 $F (x) 为 f (x)$ 的一个原函数，则 $∫f(x)dx=F(x)+C\int{f(x)dx}=F(x)+C$ ，其中C为任意常数。
$∫f(x)dx\int{f(x)dx}$ 表示 $f (x)$ 的任意一个原函数，是一种运算。

例2 求 $∫1xdx\int \frac{1}{x}dx$
$解：当x>0时，(ln⁡x)′=1x,所以∫1xdx=ln⁡x+C当x<0时，(ln⁡(−x))′=1−x⋅−1=1x,∫1xdx=ln⁡(−x)+C综上∫1xdx=ln⁡∣x∣+C解：\\ 当x\gt0时，(\ln x)^{'}=\frac{1}{x},所以\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C \\ 当x\lt0时，(\ln(-x))^{'}=\frac{1}{-x}\cdot-1=\frac{1}{x},\int \frac{1}{x}dx=\ln(-x)+C \\ 综上\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C \\$

2 不定积分的性质

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数

性质1 $d[∫f(x)dx]dx=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx\frac{d[\int f(x)dx]}{dx}=f(x)或 d[\int f(x)dx]=f(x)dx$

性质2 $∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C\int F^{'}(x)dx=F(x)+C或\int dF(x)=F(x)+C$

性质3 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

$∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}$

$证明：上式右端求导,[∫f(x)dx+∫g(x)dx]′=[∫f(x)dx]′+[∫g(x)dx]′=f(x)+g(x)所以右端也是f(x)+g(x)的不定积分证明：\\ 上式右端求导,[\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}]^{'}=[\int{f(x)dx}]^{'}+[\int{g(x)dx}]^{'}\\ =f(x)+g(x) \\ 所以右端也是f(x)+g(x)的不定积分$

注：性质3对于有限个函数都是成立的。

性质4 设函数f(x)的原函数存在， $k$ 为非零常数，则

$∫kf(x)dx=k∫f(x)dx\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}$

3 基本积分表

①$\int{kdx}=kx+C $

② $∫xudx=xu+1u+1+C\int{x^udx}=\frac{x^{u+1}}{u+1}+C$ ③ $∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int{\frac{dx}{x}}=\ln|x|+C$

④ $∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\arctan x+C$ ⑤ $∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\arcsin x+C$

⑥ $∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int{\cos xdx}=\sin x+C$ ⑦ $∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int{\sin xdx}=-\cos x+C$

⑧ $∫1sin⁡2xdx=∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int{\frac{1}{\sin^2x}dx}=\int{\sec^2xdx}=\tan x+C$ ⑨ $∫1cos⁡2xdx=∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int{\frac{1}{\cos^2x}dx}=\int{\csc^2xdx}=-\cot x+C$

⑩ $∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\int{\sec x\tan xdx}=\sec x+C$ ⑪ $∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int{\csc x\cot xdx}=-\csc x+C$

⑫ $∫exdx=ex+C\int{e^xdx}=e^x+C$ ⑬ $∫axdx=axln⁡a+C\int{a^xdx}=\frac{a^x}{\ln a}+C$

4 例题

例1 $∫(x−1)3x2dx\int{\frac{(x-1)^3}{x^2}dx}$
$解：∫(x−1)3x2dx=∫x3−3x2+3x−1x2=∫xdx−∫3dx+∫3x−∫1x2=12x2−3x+3ln⁡∣x∣+1x+C解：\\ \int{\frac{(x-1)^3}{x^2}dx}=\int{\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2}}\\ =\int{xdx}-\int{3dx}+\int{\frac{3}{x}}-\int{\frac{1}{x^2}}\\ =\frac{1}{2}x^2-3x+3\ln|x|+\frac{1}{x}+C$
例2 $∫2x4+x2+3x2+1dx\int{\frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}dx}$
$解：利用多项式相除，得2x2+1,余4,有∫2x4+x2+3x2+1dx=∫(2x2−1+4x2+1)dx=∫2x2dx−∫1dx+∫4x2+1dx=2x33−x+4arctan⁡x+C解：\\ 利用多项式相除，得2x^2+1,余4,有\\ \int{\frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}dx}=\int{(2x^2-1+\frac{4}{x^2+1})dx}\\ =\int{2x^2dx}-\int{1dx}+\int{\frac{4}{x^2+1}dx}=\frac{2x^3}{3}-x+4\arctan x+C$