CF1120 D. Power Tree 巧妙的图论转化

传送门

[前题提要]:无

题目描述:

就是给你一棵树,然后每个点有花费,然后你可以选一个点,付费后对这个点的子树的所有叶子结点增减任意权值.
考虑有一个人会给这棵树的所有叶子结点赋值(值我们不知道),输出最小的花费,使得无论它如何赋值,我们使用上述的花
费都能使所有的叶子节点变为0

考虑对一个点的子树的所有叶子节点进行增减任意值.不难联想到对一个点的子树的所有节点增减任意值的做法.所以考虑使用类似于树链剖分的方式将树上修改化为链上区间修改.
考虑记录一个点的所有叶子节点,并且按照$dfs$序将其离散化存下.按照$dfs$序的性质,我们会发现一个点的所有叶子节点必然是连续的区间.那么此时我们的问题就变成了:
给你$n$个可以修改的区间,每一个区间都有其修改范围,修改每一个区间需要一定花费,问你至少需要多少花费将所有数字变为0
考虑到区间修改以及单点查询,我们想到使用差分来解决.假设我们使用一个差分数组$k[i]=a[i]-a[i-1]$,那么对于每一次区间修改来说,我们都是$a[l]+=val,a[r+1]-=val$,那么最终我们需要得到的所有的$k[i]==0$.
此时有一个巧妙的转化,考虑我们需要所有的k[i]变为0,但是显然我们的差分数组是不改变前缀和的,所以此时所有的值肯定都转移到了cnt+1的位置(假设我们有cnt个叶子节点),那么对于我们的数的转移来说,我们只能将$l$转移到$r+1$,如果我们将转移过程看成边,将每一个叶子结点看成点,那么我们想将所有的值都转移到$cnt+1$,就需要所有的点都联通才行,这样才能保证无论怎么赋值我们都可以将其转移到$cnt+1$的位置
那么此时这道题就简单了,考虑到必须所有点都联通,每次选择联通一个点我们都需要花费,又需要花费最小,所以显然是个最小生成树的模型,此时使用最小生成树跑一下就行.

但是还有一个问题,那就是这道题的最终问题是所有的可能性的最小生成树的点,所以我们用朴素的$kruskal$跑出来的只是一棵树,需要改一下.考虑到最小生成树的性质,当边相同时,我们可以选择任意一条不在联通块中的边,所以这些边显然都是平等的,所以这些边都是我们的答案(当然这一点是可以严谨证明的,但是限于篇幅,此处不再赘述)

下面是具体的代码部分:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1,n,1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {ll x=0,w=1;char ch=getchar();for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';return x*w;
}
inline void print(__int128 x){if(x<0) {putchar('-');x=-x;}if(x>9) print(x/10);putchar(x%10+'0');
}
#define maxn 1000000
#define int long long
const double eps=1e-8;
#define	int_INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
int w[maxn];vector<int>edge[maxn];int l[maxn],r[maxn];
int cnt=0;
void dfs(int u,int per_u) {if(edge[u].size()==1&&u!=1) {++cnt;l[u]=r[u]=cnt;}for(auto v:edge[u]) {if(v==per_u) continue;dfs(v,u);l[u]=min(l[u],l[v]);r[u]=max(r[u],r[v]);}
}
struct Edge{int u,v,w,id;bool operator < (const Edge &rhs) const {return w<rhs.w;}
}edge2[maxn];
int fa[maxn];
int find(int x) {if(x==fa[x]) return x;else return fa[x]=find(fa[x]);
}
signed main() {int n=read();for(int i=1;i<=n;i++) {w[i]=read();}for(int i=1;i<n;i++) {int u=read();int v=read();edge[u].push_back(v);edge[v].push_back(u);}memset(l,0x3f,sizeof l);memset(r,-0x3f,sizeof r);dfs(1,0);for(int i=1;i<=n;i++) {int u=l[i],v=r[i];edge2[i]={u,v+1,w[i],i};}for(int i=1;i<=cnt;i++) fa[i]=i;sort(edge2+1,edge2+1+n);vector<int>ans;int this_cnt=0;int need=0;for(int i=1;i<=n;i++) {int r=i;while(r+1<=n&&edge2[r+1].w==edge2[r].w) r++;for(int j=i;j<=r;j++) {auto [u,v,w,k]=edge2[j];if(find(u)!=find(v)) {this_cnt++;ans.push_back(k);}}for(int j=i;j<=r;j++) {auto [u,v,w,k]=edge2[j];if(find(u)!=find(v)) {need+=w;fa[find(u)]=find(v);}}i=r;}sort(ans.begin(),ans.end());cout<<need<<" "<<ans.size()<<endl;for(auto i:ans) cout<<i<<" ";return 0;
}