线性代数的学习和整理17：向量空间的基，自然基，基变换等（未完成）
目录
3 向量空间的基：矩阵的基础/轴
3.1 从颜色RGB说起
3.2 附属知识
3.3 什么样的向量可以做基？
3.4 基的分类
3.1.1 不同空间的基---向量组的数量可能不同
3.1.2 自然基
3.1.3 正交基
3.1.4 标准正交基
3.1.5 基和向量/矩阵
3.1.6 基变换
（1）基不变，坐标变换
（2）坐标不变，基变换
3.1.6 基变换和坐标变换的公式 （待完成）
基的英语
3 向量空间的基：矩阵的基础/轴
3.1 从颜色RGB说起
- RGB颜色大家都明白原理
- 实际上就是 red, green,blue 这3元色来生成其他颜色
- RGB颜色有2种数字化 表示方式
- 比如 ffffff 000000 ，这个是16进制数字来表示颜色
- 使用RGB的向量值来表示其他颜色的，比如 黑色是(0,0,0) ,白色是(255,255,255), 而后面这种方法，就是向量和矩阵的方法
- 实际上 RGB 是三原色，也就是 颜色空间/ 可以看成一个3维空间的基
- 其中 red 是
green 是
，blue是
- 任意一种颜色都可以写成
3.2 附属知识
1 十六进制
（常用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9和字母A、B、C、D、E、F（a、b、c、d、e、f）表示，其中:A~F表示10~15，这些称作十六进制数字。）
2 颜色的RGB值
- RGB值从0-255，实际这个数字代表亮度
- 总共有256*256*256种，
| 颜色名称 | 红色值 Red | 绿色值 Green | 蓝色值 Blue | ||||
| 黑色 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 蓝色 | 0 | 0 | 255 | ||||
| 绿色 | 0 | 255 | 0 | ||||
| 青色 | 0 | 255 | 255 | ||||
| 红色 | 255 | 0 | 0 | ||||
| 亮紫色（洋红色） | 255 | 0 | 255 | ||||
| 黄色 | 255 | 255 | 0 | ||||
| 白色 | 255 | 255 | 255 | ||||
3.3 什么样的向量可以做基？
向量空间的基的严格定义：向量空间中的某组向量 A= {a1,a2.....an} ，这些向量如果是这个向量空间的最大线性无关组，那么这组向量A就是这个空间的一组基。
总结可以做基的特征
A= {a1,a2.....an} 这组向量，或这个向量组
- 必须是线性无关的。
- 而且必须是这个空间的最大线性无关组。
理论上，颜色空间的基有无数组，但是很多向量组也不能作为基本
举例
- 比如RG这2种颜色构成的向量组，不能称为RGB空间的一组基，因为RG组成不了所有颜色
- 比如线性相关的3组向量: 深绿色(0,255,0)，标准绿色(0,100,0) 和蓝色(0,0,255)不能作为颜色空间的基的，因为3个线性相关的颜色基，无法组成所有颜色。
3.4 基的分类
3.1.1 不同空间的基---向量组的数量可能不同
- （a1,a2）是2维的，对应2个基底e1,e2
- （a1,a2,a3）是3维的，对应3个基底e1,e2
- （a1,a2,a3... ... an）是n维的, 对应n个基底e1,e2.....en
3.1.2 自然基
- 自然基本特指这种
- 自然基，比然是正交基，也是标准正交基
3.1.3 正交基
- 基这组向量里的每个向量都是互相 垂直/正交的
3.1.4 标准正交基
- 基这组向量里的每个向量都是互相 垂直/正交的
- 且长度都为1
- 标准正交基有很多，并不只是只有自然基那一组！
3.1.5 基和向量/矩阵
- 比如一个向量(3,2,5) 就可以认为是，这个向量的3个元素分别在3个基上的长度/伸缩度
- 向量(3,2,5) 在第1个基，(1,0,0) 上的长度/伸缩度是3，
- 向量(3,2,5) 在第2个基，(0,1,0) 上的长度/伸缩度是2，
- 向量(3,2,5) 在第3个基，(0,0,1) 上的长度/伸缩度是5，
3.1.6 基变换
- 矩阵的 基 / 基底 是可以改变的
- 实际上Ax=y 就可以看作 基变换
- Ax=y 有两种方法，要么坐标变，要么坐标不变，基变化
（1）基不变，坐标变换
- 假设我们有A是e1,e2,e3 等 自然基下的向量x
- 计算 A*x=y
- 一般我们计算 A*x=y 其实都是将 向量x 经过矩阵A变换后，生成了新的向量y，而新的向量y实际就是原向量的坐标发生了变化，其仍然是e1,e2。。。等 自然基下的向量y
（2）坐标不变，基变换
- 假设我们有A是e1,e2。。。等自然基下的向量x
- 而A的列向量分别是 α1,α2 ....
- 计算 A*x=y
- 我们可以保持x向量的坐标还是老的，但是基不再用e1,e2。。。等，而是用A的列向量α1,α2 ....作为新的基.
3.1.6 基变换和坐标变换的公式 （待完成）
