线性代数的学习和整理7：各种特殊效果矩阵特例（草稿-----未完成）
目录
1 矩阵
1.1 1维的矩阵
1.2 2维的矩阵
1.3 没有3维的矩阵---3维的是3阶张量
2 方阵
3 单位矩阵
3.1 单位矩阵的定义
3.2 单位矩阵的特性
3.3 为什么单位矩阵I是 [1,0;0,1] 而不是[0,1;1,0] 或[1,1;1,1]
3.4 零矩阵
3.4 看下这个矩阵 [0,1;1,0]
3.5 看下这个矩阵 [1,1;1,1]
4 镜像矩阵
5 旋转矩阵
6 伸缩矩阵 放大缩小倍数矩阵
7 剪切矩阵
1 矩阵
1.1 1维的矩阵
- 行向量，αT
- 列向量，α
行向量
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
\end{matrix}
\right]
$$
列向量
$$
\left[
\begin{matrix}
1 \\
4 \\
7
\end{matrix}
\right]
$$
1.2 2维的矩阵
- 一般2维表都可以看作矩阵。
- 矩阵的每个维度可以是1个数字，也可以是多个数字组成的数组/向量
- 比如 An*m就是n 行 m列的矩阵
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{matrix}
\right] \tag{1}
$$
1.3 没有3维的矩阵---3维的是3阶张量
- 比如3个坐标轴
1.4 下面本文总结的都是各种特殊效果矩阵特例
- 单位矩阵
- 零矩阵
- 等等
2 方阵: 正方形矩阵
- 行数和列数相等的矩阵即方阵
- 比如 An*n就是n 行 n列的矩阵
- 方阵有很多特殊的属性
- 比如虽然并不是，方阵一定有逆矩阵，但是可逆矩阵必须是方阵
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right]
$$
3 单位矩阵
3.1 单位矩阵的定义
- 单位矩阵，一定是这样的[1,0;0,1]
- 单位矩阵的作用，矩阵A*I=A
- 矩阵 [1,0;0,1] 代表将其他矩阵 原样进行映射，不做任何改变
- 也就是单位矩阵，既不改变矩阵方向，也不改变伸缩矩阵的长短，完全不变
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
$$
3.2 单位矩阵的特性
- 单位矩阵的特性
- A*I=A
- A*A-=I
3.3 为什么单位矩阵I是 [1,0;0,1] 而不是[0,1;1,0] 或[1,1;1,1]
- 因为 矩阵 [1,0;0,1] 代表将其他矩阵 原样进行映射，不做任何改变
- 而[1,1;1,1] 没有啥意义
- 可比较下面的结果，实际理解
3.4 零矩阵
- [0,0;0,0]
- 所有的列向量，都坍缩回原点
$$
\left[
\begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{matrix}
\right]
$$
3.4 看下这个矩阵 [0,1;1,0]
- [0,1;1,0]
- 这个矩阵，和单位矩阵形式恰好相反
- 从几何效果来看，是镜像矩阵（列向量互换了）
$$
\left[
\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix}
\right]
$$
3.5 看下这个矩阵 [1,1;1,1]
- [1,1;1,1]
- 几何效果是，矩阵的列向量会被变成完全相等（方向，长度都相等）
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{matrix}
\right]
$$
4 镜像矩阵
- [0,1;1,0]
- 这个矩阵，和单位矩阵形式恰好相反
- 从几何效果来看，是镜像矩阵（列向量互换了）
$$
\left[
\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix}
\right]
$$
5 旋转矩阵
应该很多种把
6 伸缩矩阵 放大缩小倍数矩阵
- 把[1,0;0,1] 变成[2,0;0,1]，即可实现伸缩效果
- 比如变成[2,0;0,1]，是第1个列向量变长2倍
- 比如变成[1,0;0,-2]，是第2个列向量变长2倍，且方向要相反（向原点的另外一边）
$$
\left[
\begin{matrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix}
\right]
$$
