贪心算法：基础入门篇

一、认识贪心算法

在求最优解的问题中，以某种贪心标准，从状态的最初始找到每一步最优解，通过多次的贪心求解，最终得到整个问题的最优解，此种解题的方法为贪心算法。可见贪心算法并不是一种固定的算法，而是根据问题的条件而产生的一种解决问题的思维模式。

由定义可知，贪心算法是由局部的最优解，得到总体的最优解，因此在使用贪心算法之前，要先判断问题是否适合使用贪心算法。

二、常见贪心问题

2.1 纸牌问题

纸牌问题是最简单，也最好理解的贪心问题，题目如下：

题目描述:

有 $N$ 堆纸牌，编号分别为 $1,2,\dots ,N$。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 $N$ 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 $1$ 堆上取的纸牌，只能移到编号为 $2$ 的堆上；在编号为 $N$ 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 $N-1$ 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 $N=4$ 时，$4$ 堆纸牌数分别为 $9,8,17,6$。

移动 $3$ 次可达到目的：

• 从第三堆取 $4$ 张牌放到第四堆，此时每堆纸牌数分别为 $9,8,13,10$。
• 从第三堆取 $3$ 张牌放到第二堆，此时每堆纸牌数分别为 $9,11,10,10$。
• 从第二堆取 $1$ 张牌放到第一堆，此时每堆纸牌数分别为 $10,10,10,10$。

输入格式:

第一行共一个整数 $N$，表示纸牌堆数。
第二行共 $N$ 个整数 $A_1,A_2,\dots ,A_N$，表示每堆纸牌初始时的纸牌数。

输出格式:

共一行，即所有堆均达到相等时的最少移动次数。

样例：

样例输入

4
9 8 17 6

样例输出

3

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 100$，$1\le A_i\le 10000$。

【题目来源】

NOIP 2002 提高组第一题

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题目解析：

根据移牌规则，可以得出以下通式：
$$\{\begin{array}{c}{a}_i>ave,a_{i+1}=(a_i-ave)+a_{i+1}\\ a_i=ave\\ a_i<ave,a_{i+1}=a_{i+1}-(ave-a_i)\end{array}$$
在左至右开始排列的情况下，从移牌规则中可得知，大于平均数的牌只能向左移动，反之小于平均数的牌只能向右移动。由此可以画出以下关系图：

根据上述思路即可写出相应代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){int a,sum=0,ave=0;int b[100];cin>>a;for(int i=0;i<a;i++){cin>>b[i];ave+=b[i];}ave=ave/a;for(int i=0;i<a;i++){if(b[i]>ave){b[i+1]+=b[i]-ave;sum++;}if(ave>b[i]){b[i+1]=b[i+1]-(ave-b[i]);sum++;}}cout<<sum;return 0;
}

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2.2 背包问题（基础版）

背包问题是贪心算法中比较经典的贪心问题，同时背包问题也是一个经典的动态规划问题，其基本形式是：给定一个背包，容量为C，和一组物品，每个物品有自己的重量和价值，现在从这些物品中选择一些装入背包，要求背包中物品的总重量不超过C，且总价值最大。

接下来以一个题目来进行讲解：
题目描述

阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 $N(N\le 100)$ 堆金币，第 $i$ 堆金币的总重量和总价值分别是 $m_i,v_i(1\le m_i,v_i\le 100)$。阿里巴巴有一个承重量为 $T(T\le 1000)$ 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？

输入格式

第一行两个整数 $N,T$。

接下来 $N$ 行，每行两个整数 $m_i,v_i$。

输出格式

一个实数表示答案，输出两位小数

样例

样例输入

4 50
10 60
20 100
30 120
15 45

样例输出 #1

240.00

【题目来源】

洛谷 P2240 【深基12.例1】部分背包问题

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题目解析：

根据题目可知，金币堆可以拆分，并将价值最大的情况带走。对于此题，我们需求出每堆金币的单价，找出单价最高的，然后依次搜索，到背包装满。

根据此流程图可写出代码：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main() {int n, t;float money=0;float a[100][3];cin >> n >> t;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < 2; j++) {cin >> a[i][j];a[i][2] = a[i][1] / a[i][0];}
to:float max = 0;int max_num;for (int i = 0; i < n; i++) {if (max < a[i][2]) {max = a[i][2];max_num = i;}}if (t <= a[max_num][0]) {money += t * max;}else {money += a[max_num][0] * max;t = t - a[max_num][0];a[max_num][2] = 0;goto to;}cout << fixed << setprecision(2) << money;return 0;
}

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2.3 简单数学证明问题

在数学问题中，存在多分支的情况下，不知道最优解时，可用贪心算法找出最优解。
题目描述

有 $n$ 个人在一个水龙头前排队接水，假如每个人接水的时间为 $T_i$，请编程找出这 $n$ 个人排队的一种顺序，使得 $n$ 个人的平均等待时间最小。

输入格式

第一行为一个整数 $n$。

第二行 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数 $T_i$ 表示第 $i$ 个人的等待时间 $T_i$。

输出格式

输出文件有两行，第一行为一种平均时间最短的排队顺序；第二行为这种排列方案下的平均等待时间（输出结果精确到小数点后两位）。

样例

样例输入

10 
56 12 1 99 1000 234 33 55 99 812

样例输出

3 2 7 8 1 4 9 6 10 5
291.90

提示

$1\le n\le 1000$，$1\le t_i\le 10^6$，不保证 $t_i$ 不重复。

【题目来源】

洛谷 P1223 排队接水

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题目解析：
根据题目可知道，要让平均等待时长最少，就需要将总等待时长控制在最小，因此需要将用时最短的人，最先安排接水，就可以得到最短总时长。数学表达式如下：
$$f_{min\_time}(x)=\sum _{i=1}^n(n-i)T_i$$
此题通过简单的排序算法，即可解决。代码如下：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main() {double t = 0;int n;int a[1001][2];cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i][0];a[i][1] = i;}for (int i = 1; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j <= n - i; j++) {if (a[j][0] > a[j + 1][0]) {int temp = a[j + 1][0];a[j+1][0] = a[j][0];a[j][0] = temp;int temp1 = a[j + 1][1];a[j+1][1] = a[j][1];a[j][1] = temp1;}}}for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << a[i][1] << ' ';t += (n - i) * a[i][0];}t = t / n;cout << fixed << setprecision(2) <<endl <<t;
}

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三、总结

贪心算法所作的选择来源于以往的选择，并非将来的选择。贪心算法相对于其他算法有一定的速度优势，在一题可以多解的情况下，可以优先选择贪心算法。