广义积分练习
前置知识
- 无穷限积分
- 瑕积分
练习
计算 ∫ 0 + ∞ 1 x ( 1 + x ) d x \int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt x(1+x)}dx ∫0+∞x(1+x)1dx
解：
x = 0 \qquad x=0 x=0为瑕点
\qquad 原式 = lim a → 0 + lim b → + ∞ ∫ a b 1 x ( 1 + x ) d x = lim a → 0 + lim b → + ∞ arctan x ∣ a b = π =\lim\limits_{a \to 0^+}\lim\limits_{b\to +\infty}\int_a^b\dfrac{1}{\sqrt x(1+x)}dx=\lim\limits_{a \to 0^+}\lim\limits_{b\to +\infty}\arctan x\bigg\vert_a^b=\pi =a→0+limb→+∞lim∫abx(1+x)1dx=a→0+limb→+∞limarctanx ab=π