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全面讲解最小二乘法

news 2025/8/27 1:22:43

常见的最小二乘法我们就不多说了，下面主要介绍一下最小二乘法的一些先进方法。

正则化的最小二乘法

在使用常见的最小二乘法进行回归分析时，常常会遇到过拟合的问题，也就是在训练数据集上表现的很好，但是在测试数据集上表现的很差。这时候就需要将最小二乘法中引入一个正则化项。常见的正则化有两种。

L2正则化(Ridge回归)：

$arg min_{w\in D}L(W)=\sum_{i=1}^{n}(y_i-Wx_i)^2+\lambda\sum_{j=1}^{d}W^2_j \\ =||y-Wx||^2_2+\lambda||W||^2_2$

L1正则化(Lasso回归)：

$arg min_{w\in D}L(W)=\sum_{i=1}^{n}(y_i-Wx_i)^2+\lambda\sum_{j=1}^{d}|W_j| \\ =||y-Wx||^2_2+\lambda||W||_1$

从概率的角度解释正则化：正则化相当于参数W的先验分布。如果该分布是 $\mu=0$ 的高斯分布，就是L2正则化；如果该分布是 $\mu=0$ 的拉普拉斯分布，则是L1正则化。通过加入正则化来限制参数空间，控制模型的复杂度，从而防止过拟合。

阻尼最小二乘法（Levenberg–Marquardt algorithm，LMA）

我们常用的最小二乘法是拟合线性方程组 $y=Wx$ ，但是对于非线性的函数，我们就要用阻尼最小二乘法，本质上是一个迭代求解的过程，基本思想是利用泰勒展开把非线性函数线性化。

设方程 $y=f(x;c)$ ，其中x是变量，c是要拟合的参数。我们要找到一组c使得：

$arg min_{c\in D}L(W)=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i;c))^2$

将函数 $f(x;c)$ 泰勒展开，只保留一阶项，可以得到：

$Y=f(x;c_0)+J\Delta c$

其中 $J$ 是雅克比矩阵：

$J=\begin{pmatrix} \frac{\partial f(x_1)}{\partial c_1} &\frac{\partial f(x_1)}{\partial c_2} & ...&\frac{\partial f(x_1)}{\partial c_n} \\ \frac{\partial f(x_2)}{\partial c_1}& \frac{\partial f(x_2)}{\partial c_2} & ... & \frac{\partial f(x_2)}{\partial c_n}\\ ...& ... & ... &... \\ \frac{\partial f(x_n)}{\partial c_1}& \frac{\partial f(x_n)}{\partial c_2}& .... & \frac{\partial f(x_n)}{\partial c_n} \end{pmatrix}$