一.AVL树的定义

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

具有以上性质的树被称为AVL树。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

AVL树节点的定义：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{ALVTreeNode<K,V>* _left;AVLTreeNode<K,V>* _right;AVLTreeNode<K,V>* _parent;//父亲节点pair<K, V> _kv;//构造函数AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}int _bf;//平衡因子
};

AVL树的定义：

template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:private:Node* _root=nullptr;
};

二.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.second){//当前值小于要插入的值，往右边走parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.second){//当前值大于要插入的值，往左边走parent = cur;cur = cur->_left;}else{//有相同的值了，退出插入return false;}}//当cur走到了nullptr，就是找到了要插入的点了cur = new Node(kv);//判断插入在左边还是右边if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//确定父子关系//…………//更新插入后的平衡因子//…………
}

三.插入后更新平衡因子

新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

更新平衡因子的规则：

1. 新增在右边，则会让父平衡因子++，新增在左边，父平衡因子--
2. 更新后，如果 parent->bf == 0，说明 parent 插入前的平衡因子是 1 or -1，插入填上了矮的一边，parent 的子树高度不变，不需要继续往上更新。
3. 更新后，如果parent->bf为 1 或 -1， 说明parent插入前的平衡因子是0，说明左右子树高度相等，插入后有一边高，parnet 高度变了，需要继续往上更新。
4. 更新后，如果 parent->bf == 2 或-2，说明parent插入前的平衡因子是 1 or -1，已经到达平衡临界值，parent 子树进行旋转处理将树保持平衡。
5. 更新后，如果 parent->bf >2 或 <-2 ，则说明插入前树已经失去的平衡，要进行代码的检查。

while (parent)
{//更新平衡因子if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){//没有新增高度break;}else if(abs(parent->_bf)==1){//平衡因子为1，往上面继续找parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (abs(parent->_bf) == 2){//需要旋转了}
}

四.AVL树的旋转

1.左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

1. 将subR作为一个根节点
2. 将subRL作为parent的右节点(如果subRL存在的话)
3. parent作为subR的左节点。

左旋的条件是

parent->_bf==2&&cur->_bf==1

旋转之后parent的平衡因子为0，subL的平衡因子也是0。

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* pparent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = subR;}subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;;}subR->_parent = pparent;}subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.右单旋

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

1. 将subL作为一个根节点
2. 将subLR作为parent的左节点(如果subLR存在的话)
3. parent作为subL的右子节点。

右旋的条件是

parent->_bf==-2&&cur->_bf==-1

旋转之后parent的平衡因子为0，subL的平衡因子也是0。

3.先左单旋再右单旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
如果将节点插入到c当中，平衡因子就会发生改变，所以这里的平衡因子需要分情况讨论。
这里通过subLR的平衡因子来确定是在左边插入还是在右边插入。
两种情况下subLR都是0。

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL-> _right;int bf = subLR->_bf;//提前存好，旋转后会subLR会发生改变RotateL(parent->_left);RotateR(parent);subLR->_bf = 0;if (bf == 1){//在右边插入parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else if (bf == 0){//已经平衡了parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{//插入存在问题assert(false);}
}

4.先右单旋再左单旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
C增加节点之后高度和d一样都是h，将其全部旋转到右边去，然后再通过左旋把30压下去，将60作为根节点。
与左右单旋一样，插入的b还是c需要分别更新平衡因子

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

五.AVL树的性能分析

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

六.检查是否满足AVL树

通过计算左右子树的高度差来确定是否满足AVL树，因为平衡因子是自己设置的，如果还通过平衡因子来确定的话会不太准。

bool _IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr){return true;}int leftHT = Height(root->_left);int rightHT = Height(root->_right);int diff = rightHT - leftHT;if (diff != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(diff) < 2&& _IsBalance(root->_left)//递归左子树&& _IsBalance(root->_right);//递归右子树
}int Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int left = Height(root->_left);int right = Height(root->_right);return max(left, right) + 1;
}

七.源码

namespace dianxia
{//树的节点template<class K, class V>struct AVLTreeNode{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf; // 平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}};template<class K, class V>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续更新祖先parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 需要旋转处理 -- 1、让这颗子树平衡 2、降低这颗子树的高度					//左单旋if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}//右单旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//左右双旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}//右左双旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}int Height(){return _Height(_root);}private:int _Height(Node* root){if (root == NULL)return 0;int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == NULL){return true;}int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);if (rightH - leftH != root->_bf){cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(leftH - rightH) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (ppnode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 1){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};
}

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本文到此结束，码文不易，还请多多支持哦！！！