梯度下降法求解线性回归之python实现

线性回归其实就是寻找一条直线拟合数据点，使得损失函数最小。直线的表达式为：

$$y_i = \omega_1x_{i,1}+\omega_2x_{i,2}+\omega_jx_{i,j}+...+b$$
损失函数的表达式为：
$$J = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^m{(y_i-y_{predict\_i})^2}$$
其中m为数据点总数。
现在我们使用梯度下降法求解函数 $J$的最小值，梯度下降法原理示意图如下：

如上图所示，只要自变量$x$沿着负梯度的方向变化，就可以到达函数的最小值了，反之，如果沿着正梯度方向变化，就可以到达函数的最大值。
我们要求解 $J$函数的最小值，那么就要求出每个$\omega$的梯度和 $b$的梯度，由于梯度太大，可能会导致自变量沿着负梯度方向变化时，$J$的值出现震荡，而不是一直变小，所以在梯度的前面乘上一个很小的系数 $\alpha$。
由以上可以总结出 $\omega$和 $b$的更新公式：

$$\omega_j = \omega_j-\alpha\nabla{J}(\omega_j)$$
$$b = b-\alpha\nabla{J}(b)$$
梯度公式（其实就是求导而已）：
$$\begin{align} \nabla{J}(\omega_j) & = \frac{\partial{J}}{\partial{\omega_j}} \\ & = \sum_{i=0}^m{(y_i-y_{predict\_i})(-x_{i,j})}\\ & = \sum_{i=0}^m{(y_{predict\_i}-y_i)x_{i,j}}\\ \end{align}$$
$$\begin{align} \nabla{J}(b) & = \frac{\partial{J}}{\partial{b}} \\ & = \sum_{i=0}^m{(y_{predict\_i}-y_i)}\\ \end{align}$$
系数 $\alpha$如果随着迭代的进行越来越小的话，有利于防止迭代后期震荡的发生，是算法收敛， $\alpha$的更新公式：
$$\alpha = \frac{1}{i+1}+0.001$$
其中i是迭代次数，起始为0
下面为使用python具体实现梯度下降法求解线性回归
原始数据：

x = np.arange(-2,2,0.1)
y = 2*x+np.random.random(len(x))
x = x.reshape((len(x),1))
y = y.reshape((len(x),1))

开始迭代：

for i in range(maxgen):alpha = 1/float(i+1)+alpha0e = np.dot(x,seta.reshape((len(seta),1)))+b-y # 二维列向量mse = np.linalg.norm(e)delta_seta = np.dot(e.T,x)[0]delta_seta_norm = np.linalg.norm(delta_seta)b = b-alpha*np.sum(e)seta = seta-alpha*delta_setaprint u'迭代次数：',iprint u'梯度：',delta_seta_norm,'seta',seta,'b:',b,'mse',mseprint 'alpha:',alpha,'sum(e):',sum(e)

算法运行结果：

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如上图所示，最后梯度的值逐渐降为0，说明达到的 J <script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">J</script>的极值点。