有限元分析中的常识（持续更新）
有限元分析中的常识（持续更新）
介绍一些学过有限元的人都不得不超级熟练掌握的基本常识。
文章目录
- 有限元分析中的常识（持续更新）
- 通用符号
- 基本不等式
- Cauchy-Schwarz 不等式
- Hölder's 不等式
- Young's 不等式
- Poincaré 不等式
- 离散版本的 Gronwall 不等式
- Sobolev 不等式
- 嵌入定理
- 嵌入定理
- 紧嵌入定理
- Cea 引理证明技巧
- Aubin-Nitsche 对偶技巧
- Lax-Milgram 定理
通用符号
∥ ⋅ ∥ m , p \|\cdot\|_{m, p} ∥⋅∥m,p 表示 Sobolev 空间 W m , p ( Ω ) W^{m, p}(\Omega) Wm,p(Ω) 范数：
∥ u ∥ m , p = ( ∑ ∣ α ∣ ≤ m ∥ D α u ∥ L p p ) 1 / p \|u\|_{m, p}=\left(\sum_{|\alpha| \leq m}\left\|D^{\alpha} u\right\|_{L^{p}}^{p}\right)^{1 / p} ∥u∥m,p=⎝⎛∣α∣≤m∑∥Dαu∥Lpp⎠⎞1/p
为了表达的简洁，当 p = 2 p=2 p=2 时，可以省略第一个下标，即 ∥ ⋅ ∥ m = ∥ ⋅ ∥ m , 2 \|\cdot\|_{m}=\|\cdot\|_{m, 2} ∥⋅∥m=∥⋅∥m,2 表示 W m , 2 ( Ω ) = H m ( Ω ) W^{m, 2}(\Omega)=H^{m}(\Omega) Wm,2(Ω)=Hm(Ω) 的范数。
同样地，当 m = 0 m=0 m=0 时，可以省略第一个下标，但是为了和上面一个省略区分，我们一般用 ∥ ⋅ ∥ L p = ∥ ⋅ ∥ 0 , p \|\cdot\|_{L^{p}}=\|\cdot\|_{0, p} ∥⋅∥Lp=∥⋅∥0,p 表示 W 0 , p ( Ω ) = L p ( Ω ) W^{0, p}(\Omega)=L^{p}(\Omega) W0,p(Ω)=Lp(Ω) 范数：
∥ u ∥ L p = ( ∫ Ω ∣ u ∣ p d x ) 1 / p \|u\|_{L^{p}}=\left(\int_{\Omega}|u|^{p} \mathrm{~d} x\right)^{1 / p} ∥u∥Lp=(∫Ω∣u∣p dx)1/p
更进一步的省略，当 m = 0 , p = 2 m=0, p=2 m=0,p=2 时，直接用 ∥ ⋅ ∥ = = ∥ ⋅ ∥ 0 , 2 \|\cdot\|==\|\cdot\|_{0, 2} ∥⋅∥==∥⋅∥0,2 表示 W 0 , 2 ( Ω ) = L 2 ( Ω ) W^{0,2}(\Omega)=L^{2}(\Omega) W0,2(Ω)=L2(Ω) 的范数。
( ⋅ , ⋅ ) (\cdot, \cdot) (⋅,⋅) 表示 L 2 L^{2} L2 内积。
一根短竖线 ∣ ⋅ ∣ m , p |\cdot|_{m, p} ∣⋅∣m,p 表示相对于范数的半范，以此类推。
基本不等式
Cauchy-Schwarz 不等式
∣ ( a , b ) ∣ 2 ≤ ∥ a ∥ ∥ b ∥ |(a, b)|^{2} \leq\|a\|\|b\| ∣(a,b)∣2≤∥a∥∥b∥
Hölder’s 不等式
∥ u v w ∥ L s ≤ ∥ u ∥ L p ∥ v ∥ L q ∥ w ∥ L r , ∀ p , q , r ∈ ( 0 , ∞ ] , 1 s = 1 p + 1 q + 1 r . \|u v w\|_{L^{s}} \leq\|u\|_{L^{p}}\|v\|_{L^{q}\|w\|_{L^{r}}}, \quad \forall p, q, r \in(0, \infty], \quad \frac{1}{s}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} . ∥uvw∥Ls≤∥u∥Lp∥v∥Lq∥w∥Lr,∀p,q,r∈(0,∞],s1=p1+q1+r1.
Young’s 不等式
设 p , q ∈ R , 1 p + 1 q = 1 , a p, q \in R, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, a p,q∈R,p1+q1=1,a 和 b ≥ 0 b \geq 0 b≥0, 则有 Young 不等式:
a b ≤ a p p + b q q . a b \leq \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q} . ab≤pap+qbq.
Young 不等式有一些变形，比如说可以在 a , b a,b a,b 前面加上 ε \varepsilon ε 和 ε − 1 \varepsilon^{-1} ε−1 得到 ϵ \epsilon ϵ-Young 不等式。
Poincaré 不等式
∥ v ∥ L q ≤ C s ∥ ∇ v ∥ , ∀ v ∈ L 0 2 ( Ω ) \|v\|_{L^{q}} \leq C_{s}\|\nabla v\|, \quad \forall v \in L_{0}^{2}(\Omega) ∥v∥Lq≤Cs∥∇v∥,∀v∈L02(Ω)
离散版本的 Gronwall 不等式
连续的 Gronwall 不等式参考这里。
离散的版本精准描述如下：
A , α ∈ [ 0 , + ∞ ) A, \alpha \in[0,+\infty) A,α∈[0,+∞)，且当 n ≥ 1 n \geq 1 n≥1, a n , τ n ∈ [ 0 , + ∞ ) a_{n}, \tau_{n} \in[0,+\infty) an,τn∈[0,+∞) 满足，
a n ≤ A + α ∑ j = 1 n τ j a j ∀ n ≥ 1 , m : = sup n ∈ N α τ n < 1 a_{n} \leq A+\alpha \sum_{j=1}^{n} \tau_{j} a_{j} \quad \forall n \geq 1, \quad m:=\sup _{n \in \mathbb{N}} \alpha \tau_{n}<1 an≤A+αj=1∑nτjaj∀n≥1,m:=n∈Nsupατn<1
令 β = α / ( 1 − m ) , B : = A / ( 1 − m ) \beta=\alpha /(1-m), B:=A /(1-m) β=α/(1−m),B:=A/(1−m) 且 τ 0 = 0 \tau_{0}=0 τ0=0, 那么
a n ≤ B e β ∑ i = 0 n − 1 τ i ∀ n ≥ 1 a_{n} \leq B e^{\beta \sum_{i=0}^{n-1} \tau_{i}} \quad \forall n \geq 1 an≤Beβ∑i=0n−1τi∀n≥1
Sobolev 不等式
∥ u ∥ L q ≤ C ∥ u ∥ 1 \|u\|_{L^{q}} \leq C_{}\|u\|_{1} ∥u∥Lq≤C∥u∥1
其中对于 d = 2 , q ∈ [ 2 , ∞ ) d=2, q \in[2, \infty) d=2,q∈[2,∞)，对于 d > 2 , q ∈ [ 2 , 2 d d − 2 ] d>2, q \in\left[2, \frac{2 d}{d-2}\right] d>2,q∈[2,d−22d]。
嵌入定理
嵌入定理
Ω \Omega Ω 为有界、Lipschitz 边界区域, 则
W m , p ( Ω ) ↪ { C ( Ω ˉ ) , m p > n L q ( Ω ) , ∀ q ∈ [ 1 , ∞ ) , m p = n L q ∗ ( Ω ) , ∀ q ∗ ∈ [ 1 , n p n − m p ] , m p < n W^{m, p}(\Omega) \hookrightarrow \begin{cases}C(\bar{\Omega}), & m p>n \\ L^{q}(\Omega), \forall q \in[1, \infty), & m p=n \\ L^{q^{*}}(\Omega), \forall q^{*} \in\left[1, \frac{n p}{n-m p}\right], & m p<n\end{cases} Wm,p(Ω)↪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧C(Ωˉ),Lq(Ω),∀q∈[1,∞),Lq∗(Ω),∀q∗∈[1,n−mpnp],mp>nmp=nmp<n
其中当 m p = n m p=n mp=n 且 p = 1 p=1 p=1 时, q q q 可取 ∞ \infty ∞. 当 m p > n m p>n mp>n 时, 可分为三种情况
W m , p ( Ω ) ↪ { C 0 , m − n p ( Ω ˉ ) , n p < m < n p + 1 C 0 , α ( Ω ˉ ) , ∀ α ∈ [ 0 , 1 ) , m = n p + 1 C 0 , 1 ( Ω ˉ ) , m > n p + 1 W^{m, p}(\Omega) \hookrightarrow \begin{cases}C^{0, m-\frac{n}{p}}(\bar{\Omega}), & \frac{n}{p}<m<\frac{n}{p}+1 \\ C^{0, \alpha}(\bar{\Omega}), \forall \alpha \in[0,1), & m=\frac{n}{p}+1 \\ C^{0,1}(\bar{\Omega}), & m>\frac{n}{p}+1\end{cases} Wm,p(Ω)↪⎩⎪⎨⎪⎧C0,m−pn(Ωˉ),C0,α(Ωˉ),∀α∈[0,1),C0,1(Ωˉ),pn<m<pn+1m=pn+1m>pn+1
紧嵌入定理
W m , p ↪ ↪ { C ( Ω ˉ ) , m p > n L q ( Ω ) , ∀ q ∈ [ 1 , ∞ ) , m p = n L q ∗ ( Ω ) , ∀ q ∗ ∈ [ 1 , n p n − m p ) , m p < n W^{m, p} \hookrightarrow \hookrightarrow \begin{cases}C(\bar{\Omega}), & m p>n \\ L^{q}(\Omega), \forall q \in[1, \infty), & m p=n \\ L^{q^{*}}(\Omega), \forall q^{*} \in\left[1, \frac{n p}{n-m p}\right), & m p<n\end{cases} Wm,p↪↪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧C(Ωˉ),Lq(Ω),∀q∈[1,∞),Lq∗(Ω),∀q∗∈[1,n−mpnp),mp>nmp=nmp<n
记不住？确实。可以记住 q = n p n − m p q=\frac{np}{n-mp} q=n−mpnp 这个，这是上限。当 q q q 越小的时候， W m , p W^{m, p} Wm,p 越容易嵌入到 L q L^q Lq。因为对于 L q L^q Lq 来说， q q q 越大，范数越强，区域范围越小，越不容易被嵌入。
Cea 引理证明技巧
Céa 引理. 设双线性形式 a ( ⋅ , ⋅ ) a(\cdot, \cdot) a(⋅,⋅) 连续、 V V V 椭圆，即存在 M , α > 0 M, \alpha>0 M,α>0，使得
∣ a ( u , v ) ∣ ≤ M ∥ u ∥ V ∥ v ∥ V , a ( u , u ) ≥ α ∥ u ∥ V 2 , ∀ u , v ∈ V |a(u, v)| \leq M\|u\|_{V}\|v\|_{V}, a(u, u) \geq \alpha\|u\|_{V}^{2}, \forall u, v \in V ∣a(u,v)∣≤M∥u∥V∥v∥V,a(u,u)≥α∥u∥V2,∀u,v∈V
设 u , u h u, u_{h} u,uh 分别为问题变分问题及其有限元离散的解,，则存在常数 C > 0 C>0 C>0， 使得
∥ u − u h ∥ V ≤ C inf v h ∈ V h ∥ u − v h ∥ V \left\|u-u_{h}\right\|_{V} \leq C \inf _{v_{h} \in V_{h}}\left\|u-v_{h}\right\|_{V} ∥u−uh∥V≤Cvh∈Vhinf∥u−vh∥V
其中右端项 inf v h ∈ V h ∥ u − v h ∥ V \inf _{v_{h} \in V_{h}}\left\|u-v_{h}\right\|_{V} infvh∈Vh∥u−vh∥V 称为逼近误差。
证明. 对 v h ∈ V h ⊆ V , a ( u , v h ) = f ( v h ) v_{h} \in V_{h} \subseteq V, a\left(u, v_{h}\right)=f\left(v_{h}\right) vh∈Vh⊆V,a(u,vh)=f(vh)。又 a ( u h , v h ) = f ( v h ) a\left(u_{h}, v_{h}\right)=f\left(v_{h}\right) a(uh,vh)=f(vh)。两式相减有
a ( u − u h , v h ) = 0 , ∀ v h ∈ V h a\left(u-u_{h}, v_{h}\right)=0, \forall v_{h} \in V_{h} a(u−uh,vh)=0,∀vh∈Vh
由椭圆性，
α ∥ u − u h ∥ V 2 ≤ a ( u − u h , u − u h ) = a ( u − u h , u − v h ) + a ( u − u h , v h − u h ) ≤ M ∥ u − u h ∥ V ∥ u − v h ∥ V . \begin{aligned} \alpha\left\|u-u_{h}\right\|_{V}^{2} & \leq a\left(u-u_{h}, u-u_{h}\right) \\ &=a\left(u-u_{h}, u-v_{h}\right)+a\left(u-u_{h}, v_{h}-u_{h}\right)\\ & \leq M\left\|u-u_{h}\right\|_{V}\left\|u-v_{h}\right\|_{V} . \end{aligned} α∥u−uh∥V2≤a(u−uh,u−uh)=a(u−uh,u−vh)+a(u−uh,vh−uh)≤M∥u−uh∥V∥u−vh∥V.
再由 v h v_{h} vh 的任意性即得证。
做误差估计的时候常常用到这个，但是对于不同的方法，往往需要做一些改变，比如某些方法下，正交性可能就不成立了，这时候就会多出来一些项，需要单独估计。
它说的是，有限元误差可以被逼近误差界住。
Aubin-Nitsche 对偶技巧
Aubin-Nitsche 引理. 设 u , u h u, u_{h} u,uh 分别为变分问题及其有限元离散的解。在凸区域的情形下，存在 C > 0 C>0 C>0，使得
∥ u − u h ∥ 0 , Ω ≤ C h ∥ u − u h ∥ 1 , Ω \left\|u-u_{h}\right\|_{0, \Omega} \leq C h\left\|u-u_{h}\right\|_{1, \Omega} ∥u−uh∥0,Ω≤Ch∥u−uh∥1,Ω
证明关键步骤.
考虑辅助问题
{ − Δ w = u − u h , in Ω w = 0 , on ∂ Ω \begin{cases}-\Delta w=u-u_{h}, & \text { in } \Omega \\ w=0, & \text { on } \partial \Omega\end{cases} {−Δw=u−uh,w=0, in Ω on ∂Ω
变分形式，
a ( w , v ) = ( u − u h , v ) , ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) \begin{aligned} a(w, v) &=\left(u-u_{h}, v\right), \quad \forall v \in H_{0}^{1}(\Omega) \\ \end{aligned} a(w,v)=(u−uh,v),∀v∈H01(Ω)
取 v = u − u h v=u-u_{h} v=u−uh, 则有
∥ u − u h ∥ 2 = a ( w , u − u h ) = a ( w − w h , u − u h ) ( 正交性: a ( u − u h , w h ) = 0 ) ≲ ∥ w − w h ∥ 1 ∥ u − u h ∥ 1 ( 有界性 ) ≲ h ∣ w ∣ 2 ∥ u − u h ∥ 1 ( 对 w 解的估计 ) ≲ h ∥ u − u h ∥ ∥ u − u h ∥ 1 ( P D E 正则性理论 ) \begin{aligned} \left\|u-u_{h}\right\|_{}^{2} &=a\left(w, u-u_{h}\right) \\ &=a\left( w-w_{h}, u-u_{h}\right) \quad\left(\text { 正交性: } a\left(u-u_{h}, w_{h}\right)=0\right) \\ & \lesssim \left\|w-w_{h}\right\|_{1} \left\|u-u_{h}\right\|_{1}\quad(\text { 有界性 }) \\ & \lesssim h\left|w\right|_{2} \left\|u-u_{h}\right\|_{1}\quad(\text { 对 $w$ 解的估计}) \\ & \lesssim h\left\|u-u_{h}\right\|_{}\left\|u-u_{h}\right\|_{1} \quad(\mathrm{PDE} \text { 正则性理论 }) \end{aligned} ∥u−uh∥2=a(w,u−uh)=a(w−wh,u−uh)( 正交性: a(u−uh,wh)=0)≲∥w−wh∥1∥u−uh∥1( 有界性 )≲h∣w∣2∥u−uh∥1( 对 w 解的估计)≲h∥u−uh∥∥u−uh∥1(PDE 正则性理论 )
想要得到 ∥ u − u h ∥ \left\|u-u_{h}\right\| ∥u−uh∥ 的估计，构造辅助问题，让右端项 f = u − u h f=u-u_h f=u−uh。
利用辅助问题的等式的变分形式，从右边到左边。
想利用到辅助问题解的估计，用一次正交性。再利用正则性理论，从左边到右边。
有些特殊的问题，正交性没有怎么办？可能又会多出来一些项，单独处理。
Lax-Milgram 定理
Lax-Milgram 定理. 设 a ( ⋅ , ⋅ ) a(\cdot, \cdot) a(⋅,⋅) 是有界、椭圆双线性型, V V V 为 Hilbert 空间, ℓ ∈ V ′ \ell \in V^{\prime} ℓ∈V′. 则变分 问题
{ 求 u ∈ V , s.t. a ( u , v ) = ℓ ( v ) , ∀ v ∈ V \left\{\begin{array}{l} \text { 求 } u \in V, \text { s.t. } \\ a(u, v)=\ell(v), \forall v \in V \end{array}\right. { 求 u∈V, s.t. a(u,v)=ℓ(v),∀v∈V
存在唯一解。