数学分析中的典型问题与方法_裴礼文教授编数学分析中的典型问题与方法练习1.4参考解答...
裴礼文教授编《数学分析中的典型问题与方法》练习1.4参考解答
本节介绍求数列极限的Solz公式，这是函数极限洛必达法则的离散形式，对数列求极限非常有用。Stolz公式本身也被很多大学用作考研试题。
基本形式(数列形式)：
- Stolz公式：设严格单调增加，, 如果
则
。- Stolz公式：设严格单调减少，且
如果
则
。一般形式(差分形式)：
Stolz公式：设常数，且
,
,
, 在的任何有限子区间有界
成立
则
。Stolz公式：设常数，且
,
,
, 在的任何有限子区间有界
成立
则
。练习1.4.1：求极限，其中
- (1)设
- (2)设
解：
- (1)
- (2)
【解题完毕】
练习1.4.2：求极限
解：
【解题完毕】
练习1.4.3：已知数列满足条件
证明
证明： 利用一般形式Stolz公式
【解题完毕】
练习1.4.4：设,
- 若为有限数，证明
- 若为，证明
证明：
- (1)
- (2)
【证明完毕】
练习1.4.5：证明：若数列 收敛于, 且
则
证明：
【证明完毕】
练习1.4.6：设存在，严格单调增加正数列，, 证明：
证明： 设
则
所以
【证明完毕】
练习1.4.7：设, , .证明：
证明：
【证明完毕】
练习1.4.8：.该条件改为k> 0. 求极限
(1).
(2)
解：
- (1)
- (2)
其中位于与之间，应用积分中值定理
【解题完毕】