行列式中某一行的元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于零

问题陈述

为什么行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零？即：

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{jk}=0(i\ne j)$$

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{C}_{kj}=0(i\ne j)$$

直观理解

这个性质的核心是行列式的行（列）线性相关性。具体来说：

• 行列式中的每一行（列）可以看作其他行（列）的线性组合时，行列式的值为零。
• 当我们用某一行（列）的元素乘以另一行（列）的代数余子式时，实际上在计算一个类似行列式的表达式，但其中两行（列）是相同的，因此结果必然为零。

严格证明

步骤 1：构造辅助矩阵

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。我们构造一个新矩阵 $B$，其中：

• $B$ 的第 $j$ 行替换为 $A$ 的第 $i$ 行（即 $b_{jk}=a_{ik}$）。
• 其他行与 $A$ 相同。

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\leftarrow \text{第 }i\text{ 行}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\leftarrow \text{第 }j\text{ 行（与第 }i\text{ 行相同）}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

由于 $B$ 的第 $j$ 行和第 $i$ 行相同，所以 $\det (B)=0$。

步骤 2：按第 $j$ 行展开 $\det (B)$

行列式可以按任意一行展开。我们按 $B$ 的第 $j$ 行展开：

$$\det (B)=\sum _{k=1}^n{b}_{jk}{C}_{jk}^B$$

其中 $C_{jk}^B$ 是 $B$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列的代数余子式。

因为 $B$ 的第 $j$ 行就是 $A$ 的第 $i$ 行，所以 $b_{jk}=a_{ik}$。

此外，$C_{jk}^B$ 是删除 $B$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列后的子矩阵的行列式乘以符号因子。由于 $B$ 和 $A$ 只有第 $j$ 行不同，而删除第 $j$ 行后，$B$ 的子矩阵与 $A$ 的子矩阵相同，因此 $C_{jk}^B=C_{jk}$，其中 $C_{jk}$ 是 $A$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列的代数余子式。

因此，

$$\det (B)=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{jk}$$

步骤 3：结合 $\det (B)=0$

由于 $\det (B)=0$，所以

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{jk}=0(i\ne j)$$

几何解释

行列式的几何意义是矩阵所表示的线性变换对体积的缩放因子。
如果矩阵的两行（列）线性相关（比如完全相同），那么变换后的空间会被“压扁”到一个低维空间，体积变为 0。因此，行列式为 0。

当我们用一行（列）的元素乘以另一行（列）的代数余子式时，相当于在计算一个行列式，其中两行（列）是相同的（或成比例的），因此结果必然为 0。

例子验证

考虑矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

验证：

$$\sum _{k=1}^3{a}_{1k}{C}_{2k}=a_{11}{C}_{21}+a_{12}{C}_{22}+a_{13}{C}_{23}$$

计算代数余子式 $C_{21},C_{22},C_{23}$，然后进行求和，验证结果为零。

总结

• 原因：行列式的某一行（列）与另一行（列）的代数余子式相乘求和，相当于计算一个“伪行列式”，其中两行（列）相同，因此结果为零。
• 应用：这一性质在伴随矩阵、逆矩阵和 Cramer 法则中非常重要。
• 几何意义：线性相关的行（列）导致空间“坍缩”，行列式为零。