蓝桥杯2025.5.23每日一题-儿童数
儿童数
若一个正整数 n n n 满足 n 61 n^{61} n61 整除 2024 ! 2024! 2024!，即 2024 ! 2024! 2024! 除以 n 61 n^{61} n61 的余数为 0 0 0，则称 n n n 为儿童数。
现在，请你计算在区间 [ 1 , + ∞ ) [1, +\infty) [1,+∞) 内一共有多少个儿童数。
前置知识
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勒让德公式
v p ( n ! ) = ∑ k = 1 ∞ ⌊ n p k ⌋ v_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor vp(n!)=k=1∑∞⌊pkn⌋
可以用这个公式计算 n ! n! n! 的质因数 p p p 的次数。
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整除的充要条件
设 a a a 和 b b b 是正整数，且它们的质因数分解为：
a = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k , b = p 1 β 1 p 2 β 2 ⋯ p k β k a = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}, \quad b = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \cdots p_k^{\beta_k} a=p1α1p2α2⋯pkαk,b=p1β1p2β2⋯pkβk
（若某个质数 p i p_i pi 不在 a a a 或 b b b 的分解中，则对应的指数 α i \alpha_i αi 或 β i \beta_i βi 视为 0 0 0。）
整除的充要条件
a ∣ b a \mid b a∣b 当且仅当 ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , k } , α i ≤ β i \forall i \in \{1, 2, \dots, k\}, \alpha_i \leq \beta_i ∀i∈{1,2,…,k},αi≤βi。
即 a a a 的所有质因数的幂次都不超过 b b b 的对应幂次。
所以只要分解 2024 ! 2024! 2024!，然后要满足每个质因数的幂次 p p p 满足 61 p ≤ e 61p \leq e 61p≤e。故最终答案为 e / / 61 + 1 e // 61 + 1 e//61+1。
def is_prime(x):if x<=1:return Falsefor i in range(2,x):if x%i==0:return Falsereturn Trued={}
for i in range(2,2024):if is_prime(i):cnt=0j=iwhile j<=2024:cnt+=2024//jj*=id[i]=cnt# print(d)
ans=1
for x,cnt in d.items():if cnt>=61:ans*=(cnt//61+1)
print(ans)