26考研|高等代数：线性变换

前言

线性变换这一章节是考频较高的一部分，此部分涉及考点较多，涉及的考题也较多，学习线性变换时，应该注意搭建线性变换与矩阵之间的联系，掌握如何利用矩阵表示一个线性变换结构，同时介绍了最简单的线性变换下的矩阵，即对角矩阵，但是并非所有矩阵均可以化为对角矩阵，可以进行进一步的退化，仅仅化为若尔当标准型即可。进而介绍了线性变换的值域与核，以及对不变子空间的介绍，最后讲解了最小多项式以及相关求法。

课本简单概括

第一部分：线性变换的定义及性质

线性变换其实简而言之，就是符合线性性质的变换，线性变换保持向量的加法与数量乘法，同时要注意，线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组，但是注意：线性变换也可以把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组。关于线性变换的运算，包括乘积、和、数量乘法、逆、幂以及由线性变换构成的多项式。掌握基本的运算方法以及运算性质即可。

第二部分：特征值与特征向量

搭建线性变换与矩阵之间的关系，对于每一个线性变换，在每一组基下，都有一个对应的矩阵，那么每一个线性变换与矩阵便搭建了联系。对于所有的线性变换中，线性变换即为最简单最容易分析的一种变换形式，那么为了寻找这种最简单易于分析的变换，便引入了特征值与特征向量的相关概念，这部分是非常重要的重难点，需要进行重点练习。

第三部分：对角型与若尔当标准型

经过特征值、特征变量的变换后，寻找到合理基后，可以使其所对应的矩阵变为对角矩阵，主对角线元素即为特征值，这便是对角矩阵。但是并不是所有的线性变换都可以对应对角阵，因此，可以退而求其次，求某一线性变换所对应的若尔当标准型，也可以在一定程度上简化矩阵的分析。

第四部分：线性变换的值域与核·不变子空间

本章还介绍了线性变换的值域与核，要注意区分值域与核的基本概念与求法，同时还要注意对于每一个线性变换，其秩与零度之和为n。此外，本章还介绍了不变子空间，注意，线性变换的值域与核均为该线性变换的不变子空间。

小结

在本章的学习中，一定要注意加强对于题目的练习，多多训练，尤其要关注对于特征值与特征向量的计算，以及对于标准型和若尔当标准型的计算，都要进行多多练习。

课本经典例题