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《算法导论》第 9 章 - 中位数和顺序统计量

news 2025/8/8 7:37:00

大家好！今天我们来深入学习《算法导论》第 9 章的内容 —— 中位数和顺序统计量。这一章主要讨论如何高效地找到一个集合中的第 k 小元素（顺序统计量），其中中位数是最常用的一种顺序统计量。本文将按照目录结构，结合 C++ 代码实现，帮助大家理解并动手实践相关算法。

思维导图

9.1 最小值和最大值

基本概念

最小值：集合中最小的元素
最大值：集合中最大的元素
它们是最简单的顺序统计量（分别对应第 1 小和第 n 小元素）

算法思路

要找到一个集合中的最小值或最大值，最直接的方法是遍历整个集合，记录下遇到的最小（或最大）值。

初始化最小值为第一个元素
遍历集合中剩余元素，若当前元素小于最小值，则更新最小值
最大值的查找类似

优化思路

同时查找最小值和最大值时，可以成对比较元素：

每两个元素先比较，较小的与当前最小值比较，较大的与当前最大值比较
这样每两个元素只需 3 次比较，比单独查找节省了比较次数

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;// 同时查找最小值和最大值
void findMinAndMax(const vector<int>& arr, int& min_val, int& max_val) {if (arr.empty()) {cerr << "数组为空！" << endl;return;}int n = arr.size();int i;// 初始化min和maxif (n % 2 == 0) {  // 偶数个元素if (arr[0] < arr[1]) {min_val = arr[0];max_val = arr[1];} else {min_val = arr[1];max_val = arr[0];}i = 2;  // 从第三个元素开始} else {  // 奇数个元素min_val = max_val = arr[0];i = 1;  // 从第二个元素开始}// 成对比较元素while (i < n - 1) {if (arr[i] < arr[i + 1]) {if (arr[i] < min_val) min_val = arr[i];if (arr[i + 1] > max_val) max_val = arr[i + 1];} else {if (arr[i + 1] < min_val) min_val = arr[i + 1];if (arr[i] > max_val) max_val = arr[i];}i += 2;}
}int main() {vector<int> arr = {10, 3, 5, 1, 9, 7, 2, 8, 4, 6};int min_val, max_val;findMinAndMax(arr, min_val, max_val);cout << "数组元素: ";for (int num : arr) {cout << num << " ";}cout << endl;cout << "最小值: " << min_val << endl;  // 应输出1cout << "最大值: " << max_val << endl;  // 应输出10return 0;
}

算法分析

时间复杂度：O (n)，需要遍历整个数组
空间复杂度：O (1)，只需要常数级别的额外空间
比较次数：
- 单独查找最小值或最大值：n-1 次比较
- 同时查找：最多 3*⌊n/2⌋次比较，比单独查找的 2n-2 次更优

9.2 期望为线性时间的选择算法

问题定义

选择问题：给定一个包含 n 个元素的集合和一个整数 k（1≤k≤n），找到集合中第 k 小的元素。

当 k=1 时，就是找最小值；当 k=n 时，就是找最大值；当 k=⌊(n+1)/2⌋或 k=⌈(n+1)/2⌉时，就是找中位数。

算法思路

这里介绍的选择算法基于快速排序中的 partition（划分）操作，称为快速选择算法（Quickselect）。

算法流程：

与快速排序类似，选择一个主元（pivot）
对数组进行划分，使得主元左边的元素都小于等于主元，右边的元素都大于等于主元
设主元最终位置为 q，比较 k 与 q：
- 若 k=q，则主元就是第 k 小元素
- 若 k<q，则在左子数组中递归查找第 k 小元素
- 若 k>q，则在右子数组中递归查找第 k-q 小元素

流程图

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;// 交换两个元素
void swap(int& a, int& b) {int temp = a;a = b;b = temp;
}// 划分函数：返回主元最终位置
int partition(vector<int>& arr, int left, int right) {// 选择最右侧元素作为主元int pivot = arr[right];int i = left - 1;  // i是小于等于主元区域的边界// 遍历数组，将小于等于主元的元素放到左侧for (int j = left; j < right; j++) {if (arr[j] <= pivot) {i++;swap(arr[i], arr[j]);}}// 将主元放到正确位置swap(arr[i + 1], arr[right]);return i + 1;  // 返回主元位置
}// 随机选择主元的划分函数，减少最坏情况概率
int randomizedPartition(vector<int>& arr, int left, int right) {// 随机选择一个元素作为主元int pivot_idx = left + rand() % (right - left + 1);swap(arr[pivot_idx], arr[right]);return partition(arr, left, right);
}// 期望线性时间的选择算法
int randomizedSelect(vector<int>& arr, int left, int right, int k) {if (left == right) {return arr[left];  // 只有一个元素时直接返回}// 划分数组，得到主元位置int q = randomizedPartition(arr, left, right);// 计算主元是第几个小元素（相对于当前子数组）int current_k = q - left + 1;if (k == current_k) {return arr[q];  // 找到第k小元素} else if (k < current_k) {// 在左子数组中查找return randomizedSelect(arr, left, q - 1, k);} else {// 在右子数组中查找return randomizedSelect(arr, q + 1, right, k - current_k);}
}int main() {srand(time(0));  // 初始化随机数种子vector<int> arr = {10, 3, 5, 1, 9, 7, 2, 8, 4, 6};int n = arr.size();// 测试查找第3小元素int k = 3;int result = randomizedSelect(arr, 0, n - 1, k);cout << "数组元素: ";for (int num : arr) {cout << num << " ";}cout << endl;cout << "第" << k << "小的元素是: " << result << endl;  // 应输出3// 测试查找中位数（第5小和第6小，对于10个元素）int median1 = randomizedSelect(arr, 0, n - 1, n / 2);int median2 = randomizedSelect(arr, 0, n - 1, n / 2 + 1);cout << "中位数是: " << median1 << " 和 " << median2 << endl;  // 应输出5和6return 0;
}

算法分析

期望时间复杂度：O (n)，通过随机选择主元，避免了最坏情况的频繁出现
最坏情况时间复杂度：O (n²)，当每次划分都极不平衡时（如已排序数组且总是选最后一个元素作为主元）
空间复杂度：O (log n)，递归调用栈的深度

综合案例：查找数组的四分位数

四分位数是将数据分成四等份的三个值，分别是第 25%、50% 和 75% 位置的元素。我们可以使用快速选择算法来实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <algorithm>  // 包含sort函数所需的头文件
using namespace std;// 交换两个元素
void swap(int& a, int& b) {int temp = a;a = b;b = temp;
}// 划分函数：返回主元最终位置
int partition(vector<int>& arr, int left, int right) {// 选择最右侧元素作为主元int pivot = arr[right];int i = left - 1;  // i是小于等于主元区域的边界// 遍历数组，将小于等于主元的元素放到左侧for (int j = left; j < right; j++) {if (arr[j] <= pivot) {i++;swap(arr[i], arr[j]);}}// 将主元放到正确位置swap(arr[i + 1], arr[right]);return i + 1;  // 返回主元位置
}// 随机选择主元的划分函数，减少最坏情况概率
int randomizedPartition(vector<int>& arr, int left, int right) {// 随机选择一个元素作为主元int pivot_idx = left + rand() % (right - left + 1);swap(arr[pivot_idx], arr[right]);return partition(arr, left, right);
}// 期望线性时间的选择算法
int randomizedSelect(vector<int>& arr, int left, int right, int k) {if (left == right) {return arr[left];  // 只有一个元素时直接返回}// 划分数组，得到主元位置int q = randomizedPartition(arr, left, right);// 计算主元是第几个小元素（相对于当前子数组）int current_k = q - left + 1;if (k == current_k) {return arr[q];  // 找到第k小元素} else if (k < current_k) {// 在左子数组中查找return randomizedSelect(arr, left, q - 1, k);} else {// 在右子数组中查找return randomizedSelect(arr, q + 1, right, k - current_k);}
}// 计算四分位数
void findQuartiles(vector<int> arr, double& q1, double& q2, double& q3) {int n = arr.size();if (n < 4) {cerr << "数组元素太少，无法计算四分位数！" << endl;return;}// 第一四分位数Q1：第(n+1)/4小的元素（近似）int k1 = (n + 1) / 4;q1 = randomizedSelect(arr, 0, n - 1, k1);// 第二四分位数Q2：中位数int k2 = (n + 1) / 2;q2 = randomizedSelect(arr, 0, n - 1, k2);// 第三四分位数Q3：第3(n+1)/4小的元素（近似）int k3 = 3 * (n + 1) / 4;q3 = randomizedSelect(arr, 0, n - 1, k3);
}int main() {srand(time(0));  // 初始化随机数种子// 生成11个随机数作为示例vector<int> arr;for (int i = 0; i < 11; i++) {arr.push_back(rand() % 100);}cout << "原始数组: ";for (int num : arr) {cout << num << " ";}cout << endl;double q1, q2, q3;findQuartiles(arr, q1, q2, q3);cout << "第一四分位数(Q1): " << q1 << endl;cout << "第二四分位数(Q2/中位数): " << q2 << endl;cout << "第三四分位数(Q3): " << q3 << endl;// 为了验证结果，我们可以对数组排序后查看vector<int> sortedArr = arr;sort(sortedArr.begin(), sortedArr.end());  // 现在可以正常使用sort函数了cout << "排序后数组: ";for (int num : sortedArr) {cout << num << " ";}cout << endl;return 0;
}

9.3 最坏情况为线性时间的选择算法

算法思路

虽然快速选择算法的期望时间是线性的，但在最坏情况下仍然是 O (n²)。本节介绍一种最坏情况时间复杂度为 O (n) 的选择算法，该算法的核心是使用 "中位数的中位数" 作为主元，确保每次划分都能将数组分成大致相等的两部分。

算法步骤：

将数组分成每组 5 个元素的若干组（最后一组可能不足 5 个）
对每组元素进行排序，找到每组的中位数
递归地找到这些中位数的中位数，作为主元
使用这个主元对数组进行划分
根据 k 值递归地在左子数组或右子数组中查找

流程图

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;// 交换两个元素
void swap(int& a, int& b) {int temp = a;a = b;b = temp;
}// 插入排序，用于小规模数组排序
void insertionSort(vector<int>& arr, int left, int right) {for (int i = left + 1; i <= right; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= left && arr[j] > key) {arr[j + 1] = arr[j];j--;}arr[j + 1] = key;}
}// 找到中位数的中位数作为主元
int findPivot(vector<int>& arr, int left, int right) {if (right - left + 1 <= 5) {insertionSort(arr, left, right);return left + (right - left) / 2;  // 返回中位数位置}// 如果元素多于5个，先将数组分成5个一组// 并将每组的中位数移到数组左侧int i;for (i = left; i + 4 <= right; i += 5) {insertionSort(arr, i, i + 4);  // 排序当前组int medianPos = i + 2;  // 第3个元素是中位数（0-based）swap(arr[medianPos], arr[left + (i - left) / 5]);  // 移到左侧}// 处理最后一组（可能不足5个）if (i <= right) {insertionSort(arr, i, right);int medianPos = i + (right - i) / 2;swap(arr[medianPos], arr[left + (i - left) / 5]);}// 计算中位数的数量int numMedians = left + (i - left) / 5 - left + 1;if (i > right) numMedians--;// 递归找到中位数的中位数return findPivot(arr, left, left + numMedians - 1);
}// 划分函数，使用指定的主元位置
int partitionWithPivot(vector<int>& arr, int left, int right, int pivotPos) {int pivot = arr[pivotPos];swap(arr[pivotPos], arr[right]);  // 将主元移到末尾int i = left - 1;for (int j = left; j < right; j++) {if (arr[j] <= pivot) {i++;swap(arr[i], arr[j]);}}swap(arr[i + 1], arr[right]);  // 将主元移到正确位置return i + 1;
}// 最坏情况线性时间的选择算法
int linearTimeSelect(vector<int>& arr, int left, int right, int k) {if (left == right) {return arr[left];}// 找到主元位置int pivotPos = findPivot(arr, left, right);// 划分数组int q = partitionWithPivot(arr, left, right, pivotPos);// 计算当前主元是第几个小元素int current_k = q - left + 1;if (k == current_k) {return arr[q];  // 找到第k小元素} else if (k < current_k) {return linearTimeSelect(arr, left, q - 1, k);  // 左子数组查找} else {return linearTimeSelect(arr, q + 1, right, k - current_k);  // 右子数组查找}
}int main() {vector<int> arr = {10, 3, 5, 1, 9, 7, 2, 8, 4, 6, 11};int n = arr.size();// 测试查找第4小元素int k = 4;int result = linearTimeSelect(arr, 0, n - 1, k);cout << "数组元素: ";for (int num : arr) {cout << num << " ";}cout << endl;cout << "第" << k << "小的元素是: " << result << endl;  // 应输出4// 测试查找中位数（第6小，对于11个元素）int median = linearTimeSelect(arr, 0, n - 1, (n + 1) / 2);cout << "中位数是: " << median << endl;  // 应输出6return 0;
}

算法分析

最坏情况时间复杂度：O (n)，通过精心选择主元（中位数的中位数），确保每次划分都能将数组分成大致相等的两部分
空间复杂度：O (log n)，递归调用栈的深度
虽然理论上最坏情况是线性时间，但由于常数因子较大（约为 20-50），实际应用中快速选择算法更为常用

综合案例：在未排序数组中找到第 k 大元素

我们可以利用线性时间选择算法来找到第 k 大元素，只需将问题转换为找第 n-k+1 小元素：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;// 交换两个元素
void swap(int& a, int& b) {int temp = a;a = b;b = temp;
}// 插入排序，用于小规模数组排序
void insertionSort(vector<int>& arr, int left, int right) {for (int i = left + 1; i <= right; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= left && arr[j] > key) {arr[j + 1] = arr[j];j--;}arr[j + 1] = key;}
}// 找到中位数的中位数作为主元
int findPivot(vector<int>& arr, int left, int right) {if (right - left + 1 <= 5) {insertionSort(arr, left, right);return left + (right - left) / 2;  // 返回中位数位置}// 如果元素多于5个，先将数组分成5个一组// 并将每组的中位数移到数组左侧int i;for (i = left; i + 4 <= right; i += 5) {insertionSort(arr, i, i + 4);  // 排序当前组int medianPos = i + 2;  // 第3个元素是中位数（0-based）swap(arr[medianPos], arr[left + (i - left) / 5]);  // 移到左侧}// 处理最后一组（可能不足5个）if (i <= right) {insertionSort(arr, i, right);int medianPos = i + (right - i) / 2;swap(arr[medianPos], arr[left + (i - left) / 5]);}// 计算中位数的数量int numMedians = left + (i - left) / 5 - left + 1;if (i > right) numMedians--;// 递归找到中位数的中位数return findPivot(arr, left, left + numMedians - 1);
}// 划分函数，使用指定的主元位置
int partitionWithPivot(vector<int>& arr, int left, int right, int pivotPos) {int pivot = arr[pivotPos];swap(arr[pivotPos], arr[right]);  // 将主元移到末尾int i = left - 1;for (int j = left; j < right; j++) {if (arr[j] <= pivot) {i++;swap(arr[i], arr[j]);}}swap(arr[i + 1], arr[right]);  // 将主元移到正确位置return i + 1;
}// 最坏情况线性时间的选择算法（BFPRT算法）
int linearTimeSelect(vector<int>& arr, int left, int right, int k) {if (left == right) {return arr[left];}// 找到主元位置int pivotPos = findPivot(arr, left, right);// 划分数组int q = partitionWithPivot(arr, left, right, pivotPos);// 计算当前主元是第几个小元素int current_k = q - left + 1;if (k == current_k) {return arr[q];  // 找到第k小元素} else if (k < current_k) {return linearTimeSelect(arr, left, q - 1, k);  // 左子数组查找} else {return linearTimeSelect(arr, q + 1, right, k - current_k);  // 右子数组查找}
}// 找到第k大元素
int findKthLargest(vector<int> arr, int k) {int n = arr.size();if (k < 1 || k > n) {cerr << "k值无效！" << endl;return -1;}// 第k大元素 = 第n-k+1小元素return linearTimeSelect(arr, 0, n - 1, n - k + 1);
}int main() {vector<int> arr = {3, 2, 1, 5, 6, 4};int k = 2;cout << "数组元素: ";for (int num : arr) {cout << num << " ";}cout << endl;int result = findKthLargest(arr, k);cout << "第" << k << "大的元素是: " << result << endl;  // 应输出5// 验证：排序后查看结果vector<int> sortedArr = arr;sort(sortedArr.begin(), sortedArr.end());cout << "排序后数组: ";for (int num : sortedArr) {cout << num << " ";}cout << endl;cout << "排序后验证第" << k << "大元素: " << sortedArr[sortedArr.size() - k] << endl;return 0;
}