环形区域拉普拉斯方程傅里叶级数解

题目

问题 2. 在环形区域 { (r,θ):1<r≤2, −π≤θ<π} \{(r, \theta) : 1 < r \leq 2, \, -\pi \leq \theta < \pi\} { (r,θ):1<r≤2,−π≤θ<π} 中求解

$$\Delta u=0,$$
$$u{|}_{r=1}=0,$$
$$u{|}_{r=2}={\theta }^2.$$

解应以适当的傅里叶级数形式表示。

解答

该问题为拉普拉斯方程在环形区域上的 Dirichlet 边值问题。区域为内半径 $$r=1$$、外半径 $$r=2$$ 的圆环，边界条件为：

• 在内边界 $$r=1$$ 上，$$u=0$$;
• 在外边界 $$r=2$$ 上，$$u={\theta }^2$$.

拉普拉斯方程在极坐标下为：
$$\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0.$$
由于边界条件关于 $$\theta$$ 为偶函数（$${\theta }^2$$ 是偶函数），解中仅含余弦项。使用分离变量法，假设解的形式为 $$u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$$。分离变量后，得到角度部分的解为 $${\Theta }_n(\theta )=\cos (n\theta )$$，径向部分的解为：

• 当 $$n=0$$ 时，$$R_0(r)=A_0+B_0\ln r$$;
• 当 $$n\ge 1$$ 时，$$R_n(r)=A_n{r}^n+B_n{r}^{-n}$$.

因此，通解为：
$$u(r,\theta )=A_0+B_0\ln r+\sum _{n=1}^{\infty }(A_n{r}^n+B_n{r}^{-n})\cos (n\theta ).$$

应用边界条件

1. 内边界条件 $$u{|}_{r=1}$$