利用五边形几何关系计算cos36°及推导黄金比例

摘要

本文探讨正五边形中两种特殊等腰三角形的几何特性及其黄金比例关系。首先，在正五边形ABCDE中连接顶点A、C、D构成顶角36°、底角72°的等腰三角形ACD，通过正弦定理和余弦定理推导边长比例，建立三次方程$8y^3-8y^2+1=0$（令$y=\cos 36°$），解得$\cos 36°=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，并得出底边CD与腰AC的黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。其次，连接顶点A、B、E形成顶角108°、底角36°的等腰三角形ABE，同理证明腰AB与底边BE的比例同为黄金比。两种三角形均体现正五边形对称性，通过三角函数与代数方程结合，揭示黄金分割比例$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$在正五边形中的自然呈现，为黄金比例的几何推导提供了经典范例。

一、等腰三角形：两个底角为72°，顶角为36°

1. 构造正五边形中的等腰三角形

在正五边形$ABCDE$中，连接顶点$A$、$C$、$D$，形成等腰三角形$△ACD$。此时：

• 顶角$\angle CAD=36°$（正五边形中心角为$72$°，其补角为$36°$），
• 底角$\angle ACD=\angle ADC=72°$，
• 设底边$CD=1$，等腰边$AC=AD=x$。

2. 应用正弦定理

在$△ACD$中，由正弦定理：
$$\frac{CD}{\sin 36^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 72^{\circ }}⟹\frac{1}{\sin 36^{\circ }}=\frac{x}{\sin 72^{\circ }}$$
利用二倍角公式$\sin 72^{\circ }=2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }$，代入得：
$$x=\frac{2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }}{\sin 36^{\circ }}=2\cos 36^{\circ }$$

3. 应用余弦定理

在$△ACD$中，由余弦定理：
$$C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \cos 36^{\circ }$$
代入$CD=1$，$AC=AD=x$：
$$1=x^2+x^2-2x^2\cos 36^{\circ }⟹1=2x^2(1-\cos 36^{\circ })$$
将$x=2\cos 36°$代入：
$$1=2(2\cos 36^{\circ }{)}^2(1-\cos 36^{\circ })⟹1=8{\cos }^{2}36^{\circ }(1-\cos 36^{\circ })$$
整理为三次方程：
$$8{\cos }^{3}36^{\circ }-8{\cos }^{2}36^{\circ }+1=0$$

4. 求解三次方程

令$y=\cos 36^{\circ }$，方程变为：
$$8y^3-8y^2+1=0$$
通过因式分解或求根公式，可得实数解：
$$y=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$
因此：
$$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

底与一腰之比为黄金比：
$$\frac{CD}{AC}=\frac{1}{x}=\frac{1}{2\cos 36^{\circ }}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

二、等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°

在正五边形$ABCDE$中，连接顶点$A$、$B$、$E$，形成等腰三角形$△ABE$。此时：

• 顶角$\angle BAE=108°$，
• 底角$\angle ABE=\angle AEB=36°$，
• 设底边$AB=AE=1$，等腰边$BE=x$。

同理可证一腰与底之比为黄金比：
$$\frac{AB}{BE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$