volterra滤波器知多少

前言-volterra级数

\hspace{0.5cm}意大利数学家Volterra在1880年提出的一种泛函级数，用以推广Taylor级数，适用于研究积分方程和非线性系统。它的数学表达式是一个无穷级数，其中包含输入信号的多项式项，每一项都与输入信号在不同时间点上的值有关，反映了系统的非线性和记忆特性。Volterra级数的每一项称为内核（kernel），系数用w表示，不同的阶数L1, L2, …, Lm代表了系统的不同非线性程度和记忆长度。由于volterra级数的表达式是基于输入信号的幂次方，因此它能够捕捉到非线性系统的多项式结构，但不是所有的非线性系统都能用volterra级数准确表示。在实际应用中，volterra级数的阶数需要根据系统的复杂程度和计算资源来选择，阶数过高会导致计算复杂度增加，而阶数过低则可能导致逼近不准确。三阶volterra滤波器是volterra级数的一种特例，适用于大多数通信系统中的非线性均衡，但随着阶数的增加，内核的数量呈指数级增长，给计算带来了挑战。volterra级数在工程应用中面临收敛性问题，即并非所有的非线性系统都能找到收敛的volterra级数表达式，这限制了它的实际应用范围。

以上来自ai的回答，现在大语言模型的冲击，越来越不愿意写blog笔记了，信息来得容易，会让人变得越来越懒惰。

\hspace{0.5cm}经典的百度百科（翻译自维基百科）定义为“沃尔泰拉级数”，沃尔泰级数是非线性行为中的一种模型，类似于泰勒级数。它不同于泰勒级数的地方在于能够捕捉记忆效应。在非线性系统中，泰勒级数能够用于对输入的响应的逼近，如果在特定的某个时间内，输出是严格取决于输入的。对于沃尔泰级数，非线性系统的输出取决于任何其他的时间内的输入。这种属性使得其有能力捕捉一些器件的记忆效应，比如电容和电感。
沃尔泰级数被广泛应用于药物医学和生物学，尤其是神经科学。它也被应用于电气工程学科中内部调制失真的建模。在数学上，沃尔泰级数表示功能动态的拓展、非线性、时不变泛函。它被频繁的应用在系统识别。沃尔泰级数，即为无穷个多维卷积的和。沃尔泰级数可以通过两种不同的视角来理解：其中一种考虑两个实函数之间的映射操作，另一种考虑实函数往实数上的映射操作。由于假设的时不变系统，所以后者更为常用。
连续时间领域，一个连续的时不变系统，输入x(t)，输出y(t)即为沃尔泰级数展开：
$$y(t)=h_0+\sum _{n=1}^N{\int }_a^b\cdots {\int }_a^b{h}_n({\tau }_1,\cdots ,{\tau }_n)\prod _{j=1}^{n}x(t-{\tau }_j)d{\tau }_j$$通常通过调节合适的输出量级，常数ho可以调节为0。函数hn称为第n阶沃尔泰核，其可以当成是该系统高阶的脉冲响应函数。如果N是有限的，那么该级数是截断的。如果a,b,N都是有限的，级数被称为双重有限。
离散时间类似于连续时间：
$$y(n)=h_0+\sum _{p=1}^P\sum _{{\tau }_1=a}^b\cdots \sum _{{\tau }_p=a}^b{h}_p({\tau }_1,\cdots ,{\tau }_p)\prod _{j=1}^{p}x(n-{\tau }_j)$$这里，hp被称为离散时间的沃尔泰核，如果P是有限的，级数操作就是截断的。如果a,b,P都是有限的，那么级操作被称为双重有限。
上述定义可以看出，还是需要假设时不变特点的。

从级数到滤波器，其实就是一个公式的不同理解

上面的公式也就是一种滤波器的表达，关键要看这个系数是变化的（自适应-时变系统）还是不变的（稳态-时不变系统）。还有一个就是实战中不可能有太多的阶数，二阶和三阶已经是极限了。此处参考一篇文档，从另一个角度来看一下一二三阶的volterra滤波器组成。首先假设一个线性无记忆的系统（直肠子）：$$y(t)=h\ast x(t)$$然后在这个基础上，增加所谓的线性、离散、带记忆的时不变三个条件，就是经典的线性数字滤波器公式：$$y(n)=\sum _{i=0}^{n}h({\tau }_i)\ast x(n-{\tau }_i)$$而积分公式为$$y(t)={\int }_0^{t}h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$以上三个公式都很好理解，以下就是要烧脑了，我们实际生活的系统不可能理想的直通，存在各种非线性的魔怪，不知道 如何表达，除了一阶模拟了线性部分，能不能用高阶来模拟非线性的样子呢？答案是：能！同理我们描述一个无记忆的二阶非线性系统$$y_2(n)=h_2\ast x^2(t)$$下一步要考虑这个非线性离散的带记忆场景，这时候我们想一想相关运算，也就是我当前输入和历史某节点的输入相乘后可能对系统有所贡献，设定这个贡献系数为$h_2(p_i,p_j)$，那么我们平铺一下这个公式$$\begin{array}{rl}y(n)& =h_2(p_0,p_0)\cdot x(n)\cdot x(n)+h_2(p_0,p_1)\cdot x(n)\cdot x(n-1)+\cdots +h_2(p_0,p_n)\cdot x(n)\cdot x(0)\\ & +h_2(p_1,p_1)\cdot x(n-1)\cdot x(n-1)+h_2(p_1,p_2)\cdot x(n-1)\cdot x(n-2)+\cdots +h_2(p_1,p_n)\cdot x(n-1)\cdot x(0)\\ & +\cdots +h_2(p_n,p_n)\cdot x(0)\cdot x(0)\\ & =\sum _{j=0}^n{h}_2(p_0,p_j)\cdot x(n)x(n-j)+\sum _{j=0}^n{h}_2(p_1,p_j)\cdot x(n-1)x(n-j)+\dots \\ & =\sum _{j=0}^n\sum _{i=0}^n{h}_2(p_i,p_j)\cdot x(n-i)\cdot x(n-j)\end{array}$$
这里$h_2(p_i,p_j)$叫做volterra的核。而一阶和二阶相加就组成了二阶volterra滤波器的基本形式。三阶同理，高阶省掉的部分叫截断。

参考

A Polynomial Multiple Variance Method for Volterra Filter Identification
二阶Volterra-LMS滤波器：非线性系统识别的利器
对Volterra级数公式的理解-1
关于三阶Volterra滤波器的一些理解
Volterra-series-based nonlinear system modeling and its engineering applications: A state-of-the-art review
Robust augmented Volterra adaptive filtering

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