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近自由电子近似

news 2025/7/20 3:00:09

假设 potential 的变化是非常小的

$V(x)- \overline v= \Delta V$

我们可以找到一条平均线

代表的就是我们的平均值

这样我们用原来的 $V(x)- \overline v= \Delta V$

就可以得到一个 $\Delta V$

和平均的这条线相比，上下变化不大，这个对我们薛定谔方程求解能带来很大的便利

我们就可以得到一个平均势场

这样的话，薛定谔方程就变为

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi^{0} }{d x^2}+\overline V \psi^{0}= E^{0} \psi^{0}$

我们就可以解得

$\psi_{k}^{0}=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx}$

$E_{k}^{0}= \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \overline V$

如果我们再考虑周期性边界条件

我们就可以得到

$\psi_{k}^{0}=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx}=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ik(x+Na)}$

我们就可以得到

$kNa=l2 \pi=> k=\frac{l2 \pi}{Na}$

我们需要大家比较不同条件下的薛定谔方程求解，平均值的V是一个定值，我们可以先想象成为0，然后再在求解形势下，再把V写上去，如果我们不用V平均，而用 $V + \Delta V$

微扰理论的引入

我们就需要用微扰理论来求解

我们需要 $\Delta V$ 比较小

微扰理论给了布洛赫很大的便利，布洛赫把最新的量子理论引入到模型中，我们可以吸收最先进的理论，可以对旧的理论有更好的解释

我们来看一下微扰理论

在微扰理论里面

perturbation:小的扰动，可以对哈密顿量产生影响

分成两个部分 $H_{0}+H^{\prime}$

$H_0=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\overline V$

$H^{\prime}=V(x)-\overline V=\Delta V$

强调E和K有关系

没有微扰的地方，对实际的E进行展开，微扰可以引入一阶和二阶能量修正

一阶和二阶修正，要分别看一看微扰对一阶和二阶能量修正的影响

一，二级能量修正下，哈密顿算符，量子力学的operator的符号化

我们能够得到这样的一个公式，原先的式子之后，还有一个散射项，对于散射来讲，更准确的来说是由于周期性势场决定的，由atom决定的，由于原子在旁边，所以会产生影响

这个跳变就是我们的bandgap，就是我们的禁带宽度

做二级能量修正的时候，一些k是取不到的，我们能够取到的都是在第一布里渊区逼近德时候

在周围的时候二级能量修正才有作用，如果我们评估微扰德周期性势场对于波函数的扰动，我们看出来k必须满足一定关系，我们才能把扰动说清楚

一级波函数修正就可以，我们也有类似的分母，k的取值也是有特殊关系，我们发现波函数在分母为0的时候，整个波函数是发散性的，波函数在布里渊区附近是发散的，导致我们在做E~K关系图的时候，在布里渊区附近的地方，我们都不能够很轻松的取到

或者可以说色散关系在布里渊区边界的时候，会发生变化，这个变化也是由于周期性势场扰动引起的，我们最后会发现，如果我们用两边逼近的方法去靠近基点，k从小到大，它的逼近方向不一样，取值就不同，E的变化形状就不相同，这样可以导致能量的取值，在布里渊区边界的地方，会发生一个劈裂，具体的计算步骤，我们肯定不做要求，如果以后同学学习的过程中，看固体物理或半导体物理书不清楚的时候，可以参考计算步骤

其实重要的，是知道布里渊区的图，可以发生能量的劈裂，由于扰动

我们在做能量修正的时候，可以发现

禁带的来源就是周期性势场的扰动