OpenJudge NOI 1.8 24:蛇形填充数组

【题目链接】

OpenJudge NOI 1.8 24:蛇形填充数组

【题目考点】

1. 二维数组

【解题思路】

解法1：移动焦点

设焦点位置，焦点移动同时为焦点位置赋值。焦点移动规则为：

• 移动到右上角时，行加1
• 移动到左下角时，列加1
• 移动到第一行或第n行时，列加1
• 移动到第一列或第n列时，行加1

不断移动焦点，填充整个矩阵，最后输出矩阵。

解法2：遍历矩阵

下标从1开始，每条右上左下斜线上的位置的行列坐标加和是一定的，第一条斜线的加和为2，第二条为3，。。。，最后一条即第2n-1条斜线加和为2n。每次遍历整个矩阵，为一条斜线赋值。
观察规律可知：

• 斜线编号为奇数的斜线，数字是从左下向右上填充的，行减少列增加。
• 斜线编号为偶数的斜线，数字是从右上向左下填充的，行增加列减少。

每次填充一条斜线，填充整个矩阵，最后输出矩阵。

解法3：数学计算

斜线值：每条右上左下斜线上的位置的行号与列号的加和是相同的，记该加和为斜线值。例：(i, j)所在斜线的斜线值为i+j。
该解法可以通过位置的行号i、列号j直接求出(i, j)位置的值。

1. 对于左上方三角矩阵（包括副对角线）中的某位置(i, j)

该矩阵为n*n的矩阵，因此副对角线（右上左下）的斜线值为n+1。
因此左上方三角矩阵（包括副对角线）中的所有斜线值满足：$i+j\le n+1$

对于左上方三角矩阵（包括副对角线）中的某位置(i, j)，其所在斜线的值$k=i+j$
考虑该斜线左上方（不包括该斜线）的位置数：
第1条斜线，斜线值为2，有1个元素，
第2条斜线，斜线值为3，有2个元素，
。。。
第k-2条斜线，斜线值k-1，有k-2个元素。
共有元素：$1+2+...+k-2=(k-1)\ast (k-2)/2$个
因此从(1,1)以蛇形方式走到斜线值为k的斜线前，共经过元素$(k-1)\ast (k-2)/2$个位置，已经填充了数字$1$到$(k-1)\ast (k-2)/2$。
再考虑到达斜线值为k的斜线上后走到(i,j)所经过的元素个数

• 如果k是偶数，则为从左下向右上走，从(i+j-1,1)走到(i,j)时走过的数字为j个
• 如果k是奇数，则为从右上向左下走，从(1,i+j-1)走到(i,j)时走过的数字为i个

因此(i,j)位置的值为(k-1)*(k-2)/2+(k%2==0?j:i)。

2. 对于右下方三角矩阵（不包括副对角线）中的某位置(i, j)

对于右下方三角矩阵（不包括副对角线）中的某位置(i, j)，其所在斜线的值$k=i+j$
考虑该斜线左上方（不包括该斜线）的位置数：
第1条斜线，斜线值为2，有1个元素，
第2条斜线，斜线值为3，有2个元素，
。。。
第n条斜线，斜线值为n+1，有n个元素
第n+1条斜线，斜线值为n+2，有n-1个元素
第n+2条斜线，斜线值为n+3，有n-2个元素
。。。（规律：斜线值和该线上元素个数加和为2*n+1）
第k-2条斜线，斜线值k-1，有$(2\ast n+1-(k-1))=2\ast n+2-k$个元素。
前n条斜线的元素数量：$(1+n)n/2$
第n+1条斜线到第k-2条斜线的元素数量：$(n-1+2\ast n+2-k)\ast (k-2-(n+1)+1)/2=(3\ast n+1-k)\ast (k-n-2)/2$
再考虑到达斜线值为k的斜线上后走到(i,j)所经过的元素个数

• 如果k是偶数，则为从左下向右上走，从(n,i+j-n)走到(i,j)时走过的数字为n-i+1个
• 如果k是奇数，则为从右上向左下走，从(i+j-n,n)走到(i,j)时走过的数字为n-j+1个
  因此(i,j)位置的值为(1+n)n/2+(3*n-k+1)*(k-n-2)/2+(k%2==0?n-i+1:n-j+1)。

另一种求右下方三角矩阵（不包括副对角线）中的某位置(i, j)的值的方法：可以取矩阵中与(i,j)中心对称的位置(n-i+1, n-j+1)，这两个位置的加和一定为n*n+1。
因此a[i][j] = n*n+1-a[n-i+1][n-j+1]

【题解代码】

解法1：移动焦点

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[15][15], dir[2][2]={{-1,1},{1,-1}};//两种方向：右上、左下 
int main()
{int k = 1, n, i, j, d = 0, si, sj;//(si,sj):拟定的下一个位置 cin >> n;i = j = 1;//(i,j)：当前位置 while(k <= n*n){a[i][j] = k++;si = i + dir[d][0], sj = j + dir[d][1];if(si >= 1 && si <= n && sj >= 1 && sj <= n)//如果下一个位置在边界内 i += dir[d][0],  j += dir[d][1];else//下一个位置在边界外 {d = (d+1)%2;//改变移动方向if(i == 1 && j != n || i == n)//如果在第一行或最后一行（不包括右上角），到下一列 j++;else if(j == 1 && i != n || j == n)//如果在第一列或最后一列（不包括左下角），到下一行 i++;}}for(int i = 1; i <= n; ++i){for(int j = 1; j <= n; ++j)cout << a[i][j] << ' ';cout << endl;}return 0; 
}

解法2：遍历矩阵

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[15][15];
int main(){int n, k = 1;cin >> n;for(int m = 1; m <= 2*n-1; m++)//m为斜线编号，即每条斜线的行列坐标加和减1 {if(m%2 == 0)//斜线编号为偶数的斜线，数字是从右上向左下填充的，行增加列减少。{for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = n; j >= 1; j--)if(i + j == m + 1)//第m条斜线的行列坐标加和为m+1 a[i][j] = k++;}else//斜线编号为奇数的斜线，数字是从左下向右上填充的，行减少列增加。{for(int i = n; i >= 1; --i)for(int j = 1; j <= n; ++j)if(i + j == m + 1)a[i][j] = k++;    }}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++)cout << a[i][j] << ' ';cout << endl;}return 0;
}

解法3：数学计算

• 方法1：规律推导

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int main()
{int n, k, a[N][N];cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j){k = i+j;//斜线编号 if(k <= n+1)a[i][j] = (k-1)*(k-2)/2+(k%2==0?j:i);elsea[i][j] = (1+n)*n/2+(3*n-k+1)*(k-n-2)/2+(k%2==0?n-i+1:n-j+1);}for(int i = 1; i <= n; ++i){for(int j = 1; j <= n; ++j)cout << a[i][j] << ' ';cout << endl;}return 0;
}

• 方法2：利用中心对称

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int getVal(int i, int j)//获取左上方三角形矩阵中(i,j)位置的值 
{return (i+j-1)*(i+j-2)/2+((i+j)%2 == 0 ? j : i);
}
int main()
{int a[N][N], n, k;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j){k = i+j;//斜线编号 if(k <= n+1)a[i][j] = getVal(i, j);elsea[i][j] = n*n+1-getVal(n-i+1, n-j+1);}for(int i = 1; i <= n; ++i){for(int j = 1; j <= n; ++j)cout << a[i][j] << ' ';cout << endl;}return 0;
}