采样定理的证明与推导

采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。

设输入连续信号：

采样输出信号：

采样的过程如下图所示，可看作一段周期为T、宽度为τ的矩形脉冲载波信号S（t）

显然，τ越窄，采样越精确，当τ<<T时，采样的矩形脉冲信号接近于冲击信号，具有冲击信号的性质。所以

那么理想采样为：

对上述几个信号作傅里叶变换：

对于，由频域卷积定理（时域乘积等于频域卷积，下面公式Xc与S是卷积）：

由于S（t）是一个周期函数，可以表示成傅里叶级数

,其中

那么：

根据冲激函数的性质得到：

从上可知理想采样信号是连续时间信号频谱的周期延拓函数，其频域周期等于采样周期，而频谱幅度则为1/T，所以除去一个常数因子外，每一个延拓的的谱分量都和原频谱分量相同。

从图像上来理解会更直观一些

图a是输入信号Xc(t)在频域上的图像

图b是采样信号S(t)在频域上的图像

图c是成功采样后得到的信号Xs(t)在频域上的图像

图d是一次失败的采样，由此结果无法还原回原信号

从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发生重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该大于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最高频率。采样定理由此证毕。