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线性拟合polyfit_非线性方程求根amp;曲线拟合

article 2025/7/5 20:38:54

一. 非线性方程的求解：

roots（返回所有的即n个根）、fzero（一般只能有一个，通过迭代生成收敛到一个根）、fsolve%新版本

1.非线性方程：包括代数方程和含三角函数指数函数或其他超越函数。

1）roots：解代数方程，无法解超越方程。

多项式方程求根，p是次数由高到低排列的多项式系数

p = [3 -2 -1];%p表示次数由高到低排列的多项式的系数，相当于
r = roots(p);%求n个根

2）fzero：解绝大多数方程。

fun = @(x) x.^2-4*sin(x);
r = fzero(fun,pi/2)

3） solve命令也可以求解（warning）：

syms x;%声明符号函数变量
eqn = (x + 2)^x == 2;%赋方程
s = solve(eqn,x)%解方程，返回方程的根

2.用数值方法求解非线性方程的步骤：

①找出隔根区间（只含一个实根的区间）

②近似根的精确化

一般方法：二分法、不动点迭代法、Newton迭代法

1)二分法：以区间宽度小与容许误差来判断趋近的终点

function [x,n] = bisection(f,a,b,tol)%f是函数,[a，b]是求解区间，tol是精度
%输出x是方程的近似根，n是迭代步数。

2)不动点迭代法：

将连续函数方程

改写为等式

，不动点迭代法就是指以迭代格式

进行求解的方法

function [root,n] = fixpoint(phai,x0,tol)
if (nargin == 2)tol = 1.0e-5;
end
err = 1;
root = x0;
n = 0;
while (err > tol)n=n+1;r1=root;root=phai(r1);err=abs(root-r1);
end
输入：
ph=@(x) (1 + x)^(1 / 3);%这里输入的是φ(x)
[root,n] = fixpoint(ph,1)

不动点迭代法的收敛性：

设迭代过程收敛于方程的根，若迭代误差

满足下面的渐进关系式

，则称迭代过程是r阶收敛的。

收敛定理：若
在

的某邻域连续，且

，则不动点迭代法

局部收敛。

一般需要构造性迭代，选择适当的函数，尽量收敛速度较大。

3）Newton法

基本思想：利用非线性函数的泰勒展开的线性部分去近似函数本身，线性化处理。代数变换后即

。运算速度较快

function main
x0 = 1.5;
[fun,dfun] = fun0(x0);%调用子函数
i = 1;
while abs(x1 - x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun] = fun0(x0);x1 = x0-fun/dfun;i = i + 1;
end
disp('the solution is x1='),x1
disp('the iter time is'),i
function[fun,dfun] = fun0(x)
fun=x^3-x-1;
dfun=3*x^2-1;

4.简化的Newton迭代：

公式变形：

为对应的迭代函数，可证收敛，一般来说可以取

。

二. 插值与拟合

1.插值：用所有的离散数据确定函数表达式的方法。

缺点：如果数据存在观测误差或噪声，那么可能确定的函数并不是最佳的函数

代数插值问题理论基础：插值存在唯一性定理（系数构成Vandermonde行列式）

龙格现象：多项式的次数越多需要的数据就越多，预测就越准确。插值次数越高，插值结果越偏离原函数。高次插值结果并不可靠。
如何避免龙格现象：分段线性插值（保证了局部特性，但在节点处不光滑）、分段三次插值/样条插值（既能保证局部特性又能保证光滑性）

插值函数：

1）一维插值函数：

yq = interpl(x,y,xq,'method')%x向量是样本点，y向量是样本点对应值，向量xq是查询点，
%向量yq是函数在查询点的估计值，method表示采用的插值方法，包括linear和spline，缺省时默认为线性插值。

2）二维插值函数：

vq = interp2(x,y,v,xq,yq,'method')

2.拟合：

优点：可以消除局部波动

主要方法：最小二乘法。

曲线拟合：拟合计算要解决的基本问题是：根据给定的观测值x预测

估计经验公式中的未知参数

参数求解：高斯拟合原理、最小二乘法：

即满足

微分方程组的方式，求偏导找驻点（对所有α求偏导）

拟合函数：

多项式拟合函数：polyfit+多项式求值函数：polyval+作图（散点用'o',直线用'r'之类的）

调用格式：

p=polyfit(x,y,n)%x,y为数据点，n位多项式阶数（n可以大于最适宜拟合阶数的值，不能小与），返回p为幂次从高到低的多项式系数向量
y=polyval(p,x)%返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值

注：指数拟合可以化为多项式/线性拟合。

指数函数可以用来描述事物增长或衰减的规律：入放射性原子核、血液中药物和酒精的衰变规律等。
对于非线性拟合函数，如果无法转化成熟悉的多项式拟合，也可以用非线性拟合函数lsqcurvefit直接求解

beta = lsqcurvefit(fun,beta0,xdata,ydata)%beta为求解的非线性拟合函数系数，xydata为给定数据，
%fun为自定义的拟合函数。beta0为待定系数的初始值

如何选取初值^[1]：

如果已知数学模型，有一定物理意义，则建议根据物理意义选取。
如果无法确定初值，且你的数学模型有导数（如果求导模型很复杂甚至没有导数，则可进行简单的差分构造），则可以采取如下的办法进行：
1. 求出拟合函数的n（如无特殊条件n一般为1）阶导数。
2. 使用已知数据求出近似点的一阶导数。
3. 代入一阶导数函数以及原函数求得初值近似值。

symfun(___)把符号函数当作函数来用。//而sym(_____)的话必须要sub