公开密钥加密算法RSA的理论概述
目录
1.RSA公钥密码体制
2.RSA公钥密码算法步骤
3.RSA公钥密码算法的算法流程图
3.1 生成密钥对
3.2 加密
3.3解密
RSA加密算法的最大优点就是不需要对密钥通信进行保密，所需传输的只有公开密钥，这样就省去了一条开销很大的密钥传输信道。其保密性强，密钥管理方便，并且具有数字签名、认证和签别等多种功能，特别适合于现代保密通信的需要。大多数使用公钥密码进行加密和数字签名的产品和标准使用的都是RSA算法。RSA的安全性是基于大数因子分解的困难性。目前一般认为RSA需要1024位以上的字长才有安全保障。由于RSA所采用的模幂运算耗时太多，因此它通常只能用于加密少量数据或者加密密钥。需要注意的是，RSA的安全性只是一种计算安全性，绝对不是无条件的安全性，这是由它的理论基础决定的。所以，在实现RSA算法的过程中，每一步都应该尽量从安全性方面考虑。
1.RSA公钥密码体制
公钥加密算法的典型代表是RSA (Rivest , Shamir , Adelman)算法 ，它是公共密钥机制中的一种比较成熟的算法。它是建立在“大数分解和素数据检测”的理论基础上的，两个大素数相乘在计算机上是容易实现的, 但将该乘积分解成两个素数因子的计算量却相当巨大, 大到甚至在计算机上不可能实现，所以就确保了RSA算法的安全性。RSA算法是第一个既能用于数据加密又能用于数字签名的算法， 它为公用网络上信息的加密和鉴别提供了一种基本的方法。
2.RSA公钥密码算法步骤
首先，产生密钥
(1)随机选取两个大素数p与q；
(2)计算n=p*q（公开），Φ（n）=（p-1）*（q-1）（保密）；
(3)随机选取正整数e,使之满足gcd(e,Φ(n))=1,且1<e<Φ(n);
(4)利用欧几里得算法计算d,使之满足ed≡1(modΦ(n))，d为保密的解密密钥;
(5)用E=<n,e>作为公钥,用D=<n,d)>作为私钥。
其次，加密和解密，用RSA公钥密码体制加密时,先将明文数字化,然后进行分组,每组的长度不超过log(n),再每组单独加密和解密。
RSA算法主要的参数有3 个:模数n 、加密密钥e和解密密钥d 。
RSA算法的核心参数确实包括以下三个：
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模数n: 模数是RSA算法中的一个非常大的整数，通常由两个大素数p和q相乘得到，即n=p×q。模数的大小直接影响了RSA算法的安全性，因为攻击者如果想要破解RSA加密就必须有效地对n 进行因数分解，而这在目前对于足够大的n 来说，是非常困难的。
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加密密钥e: 也称为公钥指数，是一个相对较小的标准整数，通常选择为65537或者其它与ϕ(n) 互质的数（其中ϕ(n)=(p−1)(q−1) 是欧拉函数的值，表示小于并与n 互质的正整数的数量）。e 必须是与ϕ(n) 互质的，这样在加密过程中才能确保存在对应的解密密钥。
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解密密钥d: 解密密钥是加密密钥e 的一个逆元，满足d⋅e≡1modϕ(n)。这个关系可以通过扩展欧几里得算法找到。只有知道d 的人才能成功地对用公钥(n,e) 加密的消息进行解密，从而保护了信息安全。
在RSA体系中，公钥是包含(n,e) 的一对，可以公开分发；而私钥则是(n,d)，必须保密保管。通过这样的设计，实现了非对称加密，即加密和解密使用不同的密钥，并且加密密钥不能轻易推导出解密密钥。
3.RSA公钥密码算法的算法流程图
RSA公钥密码算法是一种非对称加密算法，它的特点是拥有两个密钥：公钥和私钥，公钥用于加密，私钥用于解密，任何人都可以获取公钥进行加密，但只有拥有私钥的人才能解密。以下是RSA算法生成密钥、加密和解密的详细过程：
3.1 生成密钥对
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选择两个大素数p 和q。这两个素数应该足够大以保证安全性，且尽量随机选择以增加因数分解的难度。
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计算模数n：将两个素数相乘得到模数n=p×q。
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计算欧拉函数 φ(n)：ϕ(n)=(p−1)(q−1)。欧拉函数φ(n)表示在小于n并且与n互质的正整数的数量。
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选择加密指数e：选择一个与ϕ(n) 互质的奇数e，且1<e<ϕ(n)。通常会选择一个较小的固定值如e=65537，以提高计算效率。
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计算解密指数d：找到一个整数d 使得e×d≡1modϕ(n)，也就是说ed≡1modϕ(n)。这可以通过扩展欧几里得算法来求解。
于是，公钥为 (n, e)，私钥为 (n, d)。
其流程图如下图所示：
3.2 加密
给定明文M（转换为整数），使用接收者的公钥(n,e) 加密：
转换明文：将明文信息转换为一个整数M，确保M<n。
加密计算：利用加密指数e 和模数n 对明文进行幂运算，得到密文C：
其流程图如下图所示：
3.3解密
持有私钥(n,d) 的接收者收到密文C 后，进行解密：
解密计算：利用解密指数d 和模数n 对密文进行幂运算，还原明文M：
M=Cdmodn
由于ed≡1modϕ(n)，因此Cdmodn 等价于(Me)dmodn，经过模反元素的性质化简后可以恢复原来的明文 M。
其流程图如下图所示：
