叉乘证明贝祖定理_谈方琳定理

本文属于本专栏第三类主题：水论文。

本文给出谈方琳定理：如何看待 15 岁女生谈方琳参加世界顶尖科学家大会？她的研究成果含金量有多高？ 的叙述和证明。

基础知识

对于正整数

求最大公约数的方法有多种。最大公约数可以通过把两个数分解为素数的乘积得到，例如

辗转相除法，是解决最大公约数计算问题的最好方法。辗转相除法的操作方式如下：

1,把

2.把

利用辗转相除法，我们总能在有限步骤内完成计算，得到的

例如，我们求51和36的最大公约数。

贝祖定理和贝祖数

以上辗转相除法求最大公约数的步骤可以写成一系列的除式：

最后，

由上述一系列除式的倒数第二行得知

再由倒数第三行，得知

继续像这样，代入倒数第四行，倒数第五行……就可以不断地得到：

其中

这样，我们证明了，存在整数

顺便一提，

注意到除非是

二元一次不定方程

贝祖定理的重要之处在于给出了二元一次不定方程的解法。事实上，若

有整数解的充分必要条件是

贝祖数的估计——谈方琳定理

设

其中

谈方琳定理的证明

用数学归纳法。

假设已证明定理对

此时，有

因此，

由归纳假设得到的不等式，直接得到

而另一个式子则需要简单的计算。

由于

另一方面，由于贝祖数一负一正（或其中有零），

谈方琳定理是最优结果

对于

用谈方琳定理估计辗转相除次数

由谈方琳定理，

另一方面，

斐波那契数列有很好的估计。事实上，

因此，可以很方便地估算辗转相除的次数的上限。用上一节的例子

参考文献

华罗庚，数论导引

谈方琳，斐波拉契数列和贝祖数的估计