noip/信息技术选考 进制转化

R进制化10进制

一句话的概括
按权展开，最低位（最右边）的权是0次方。

整数的转化
以二进制为例：
每一位都乘上$2^n$这里的n称为权，跟当前数位的位置有关系。
对于任何的进制，从右往左数第n+1位的权都是n。
例：
$(11010110)_2 = 1×2^7 + 1×2^6 + 0×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = (214)_{10}$
最右边的0权是0，因此有$0×2^0$；第二位的1，权是1，所以有$1×2^1$;第三位权是2，所以有$1×2^2$……。

再举几个例子：
八进制转十进制：
$(2365)_8 = 2×8^3 + 3×8^2 + 6×8^1 + 5×8^0 = (1269)_{10}$
十六进制转十进制：
$(4BF)_{16} = 4×16^2 + B×16^1 + F×16^0 = (1215)_{10}$

小数的转化
小数的转化就是顺延整数转化的方法。
我们知道，小数点左边第一位的权是0，第二位的权是1，……
所以顺推，小数点右边第一位的权就是-1，第二位权是-2，……
$(110.011)_2 = 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 + 0×2^{-1} + 1×2^{-2} + 1×2^{-3} = (6.375)_{10}$

再举几个例子：
$(5.76)_8 = 5×8^0 + 7×8^{-1} + 6×8^{-2} = (5.96875)_10$
$(D.1C)_16 = D×16^0 + 1×16^{-1} + C×16^{-2} = (13.109375)_10$

10进制化R进制

基数
二进制的基数是2，十进制的基数是10，八进制的基数是8。

一句话的概括
整数除以基数取余，小数乘基数取整。

整数的转化
用你需要转化的10进制整数不停地除以基数，记录余数，直到商是0，最后把记录出来的余数倒序排列就是答案了。

小数的转化
同样，小数的转化是顺延整数的方法的。整数的转化中是整数不断除以基数，那么小数的转化中是把小数部分取出来之后，不断乘基数，乘完之后记录整数部分，并记录，最后直到乘到的积小数部分为0为止。（如果不能乘到积为0，那么就可以采用保留位数的方法，需要保留几位小数就乘几次）。最后把整数部分顺序排列。