贪心算法应用：集合划分问题详解

贪心算法与集合划分问题详解

集合划分问题是组合优化中的经典问题，其核心目标是将元素集合划分为若干满足特定条件的子集。本文将深入探讨贪心算法在集合划分中的应用，涵盖算法原理、适用场景、Java实现细节及优化策略。

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一、集合划分问题定义

1.1 基础概念
给定一个集合 S = {x₁, x₂, ..., xₙ}，需要将其划分为 k 个子集 {S₁, S₂, ..., Sₖ}，满足：

1. 完备性：所有子集的并为原集合
2. 互斥性：任意两个子集交集为空
3. 特定约束：如子集和相等、子集大小相近等

1.2 常见变种问题

1. 等和划分：将集合划分为两个子集，使得两者和相等（如LeetCode 416）
2. 最小最大子集和：划分至k个子集，使最大子集和最小（如LeetCode 698）
3. 平衡划分：使子集元素数量或属性差异最小
4. 多维度划分：同时考虑多个属性（如重量+体积）

1.3 应用场景

• 服务器负载均衡
• 分布式文件存储
• 生产线任务调度
• 数据处理分片

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二、贪心算法策略设计

2.1 基本贪心策略
核心思想：通过局部最优选择逐步逼近全局最优解

通用步骤：

1. 排序预处理：按关键属性（如数值大小）排序
2. 分配策略：依次将元素分配到当前最优子集
3. 终止条件：所有元素分配完成

2.2 典型分配策略

问题类型	排序方式	分配策略
等和划分	降序排序	优先填充大元素
最小最大子集和	降序排序	当前总和最小的子集优先
平衡数量划分	无需排序	轮询分配

2.3 正确性分析

• 等和划分：当总和为偶数且无超大元素时有效
• 最小最大和：提供近似解，近似比通常为2
• NP-Hard证明：多数划分问题属于NP-Hard，贪心提供可行近似解

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三、等和划分问题详解

3.1 问题定义
给定非空数组 nums，判断是否能将其划分为两个子集，使得两个子集的和相等。

3.2 贪心算法实现

public class BalancedPartition {// 辅助类：记录子集状态static class Subset {int sum = 0;List<Integer> elements = new ArrayList<>();}public static boolean canPartition(int[] nums) {int total = Arrays.stream(nums).sum();if (total % 2 != 0) return false;int target = total / 2;Arrays.sort(nums); // 升序排序reverse(nums);     // 自定义降序Subset[] subsets = new Subset[2];subsets[0] = new Subset();subsets[1] = new Subset();for (int num : nums) {// 选择当前总和较小的子集int idx = (subsets[0].sum <= subsets[1].sum) ? 0 : 1;if (subsets[idx].sum + num > target) {// 无法放入则尝试另一个子集idx = 1 - idx;if (subsets[idx].sum + num > target) return false;}subsets[idx].sum += num;subsets[idx].elements.add(num);}return subsets[0].sum == subsets[1].sum;}private static void reverse(int[] arr) {int left = 0, right = arr.length - 1;while (left < right) {int temp = arr[left];arr[left++] = arr[right];arr[right--] = temp;}}public static void main(String[] args) {int[] nums1 = {1, 5, 11, 5};System.out.println(canPartition(nums1)); // trueint[] nums2 = {1, 2, 3, 5};System.out.println(canPartition(nums2)); // false}
}

3.3 算法分析

• 时间复杂度：O(n log n)（排序耗时）
• 空间复杂度：O(n)（存储子集信息）
• 局限性：无法处理存在单个元素超过总和一半的情况

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四、最小最大子集和问题

4.1 问题定义
给定数组 nums 和整数 k，将其划分为 k 个连续非空子集，使得最大子集和最小。

4.2 贪心策略实现

public class MinMaxSubsetSum {public static int minMaxSum(int[] nums, int k) {Arrays.sort(nums);reverse(nums);PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();for (int i = 0; i < k; i++) minHeap.offer(0);for (int num : nums) {int curr = minHeap.poll();curr += num;minHeap.offer(curr);}int max = Integer.MIN_VALUE;while (!minHeap.isEmpty()) max = Math.max(max, minHeap.poll());return max;}private static void reverse(int[] arr) {// 同前文实现}public static void main(String[] args) {int[] nums = {7, 2, 5, 10, 8};System.out.println(minMaxSum(nums, 2)); // 输出18（[7,2,5]和[10,8]）}
}

4.3 关键逻辑解析

1. 降序排序：优先处理大元素
2. 最小堆维护子集和：每次选择当前和最小的子集
3. 近似比证明：该策略结果不超过最优解的2倍

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五、多维约束划分问题

5.1 问题描述
考虑元素的多个属性（如重量、体积、价值），需同时满足多个约束条件。

5.2 装箱问题变种

class Item {int weight;int volume;public Item(int w, int v) {weight = w;volume = v;}
}public class MultiDimBinPacking {public static int minBins(Item[] items, int maxWeight, int maxVolume) {Arrays.sort(items, (a, b) -> Integer.compare(b.weight + b.volume, a.weight + a.volume));List<Bin> bins = new ArrayList<>();for (Item item : items) {boolean placed = false;// 尝试放入已有箱子for (Bin bin : bins) {if (bin.canAdd(item, maxWeight, maxVolume)) {bin.addItem(item);placed = true;break;}}// 创建新箱子if (!placed) {Bin newBin = new Bin();newBin.addItem(item);bins.add(newBin);}}return bins.size();}static class Bin {int currentWeight = 0;int currentVolume = 0;boolean canAdd(Item item, int maxW, int maxV) {return currentWeight + item.weight <= maxW && currentVolume + item.volume <= maxV;}void addItem(Item item) {currentWeight += item.weight;currentVolume += item.volume;}}
}

5.3 策略分析

• 复合排序：根据权重和体积的综合指标排序
• 首次适应策略：遍历现有容器尝试放置
• 复杂度：O(n²) 时间复杂度，适用于中小规模数据

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六、性能优化技巧

6.1 数据结构优化
使用TreeSet加速查找：

TreeSet<Bin> bins = new TreeSet<>(Comparator.comparingInt((Bin b) -> b.currentWeight).thenComparingInt(b -> b.currentVolume));// 查找可放置的bin
Bin candidate = bins.floor(searchKey);

6.2 并行处理
利用Java Stream API并行化：

Arrays.stream(items).parallel().sorted(comparator).forEach(item -> {// 分配逻辑});

6.3 缓存优化
预处理常用计算：

int[] prefixSum = new int[nums.length + 1];
for (int i=0; i<nums.length; i++) {prefixSum[i+1] = prefixSum[i] + nums[i];
}

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七、正确性证明与反例分析

7.1 等和划分反例
输入：[3, 3, 3, 3]
贪心输出：[[3,3], [3,3]]（正确）
输入：[4, 4, 4, 6]
贪心失败：需要动态规划

7.2 最小最大和证明

• 最大元素必属于某个子集
• 贪心结果 G ≤ 2 * OPT
• 实例：[9,8,7,6,5,4,3,2,1], k=3
  贪心解：19，最优解：17

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八、测试用例设计

8.1 常规测试

// 等和划分测试
@Test
void testBalancedPartition() {assertTrue(canPartition(new int[]{1,5,11,5}));assertFalse(canPartition(new int[]{1,2,3,5}));
}// 最小最大和测试
@Test
void testMinMaxSum() {assertEquals(18, minMaxSum(new int[]{7,2,5,10,8}, 2));
}

8.2 边界测试

// 单个元素测试
@Test
void testSingleElement() {assertFalse(canPartition(new int[]{5}));
}// 空输入测试
@Test
void testEmptyInput() {assertEquals(0, minMaxSum(new int[]{}, 0));
}

8.3 性能测试

// 生成10^5个元素的大规模测试
int[] bigData = new int[100000];
Arrays.fill(bigData, 1);
long start = System.currentTimeMillis();
assertTrue(canPartition(bigData));
System.out.println("Time cost: " + (System.currentTimeMillis()-start) + "ms");

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九、实际应用案例

9.1 云计算资源分配

• 需求：将虚拟机实例分配到物理机，最小化使用主机数量
• 策略：
  1. 按虚拟机资源需求（CPU+内存）降序排序
  2. 使用首次适应递减算法分配

9.2 物流装箱优化

• 需求：装车时同时考虑货物重量和体积
• 实现：

  public class CargoOptimizer {// 类似多维划分实现
  }
  

9.3 分布式计算

• 场景：将大数据作业分片到计算节点
• 优化：根据节点处理能力动态调整划分策略

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十、总结

10.1 算法选择指南

问题类型	推荐算法	时间复杂度	适用场景
小规模精确划分	动态规划	O(n*sum)	元素较少
大规模近似划分	贪心算法	O(n log n)	实时性要求高
多约束复杂划分	元启发式算法	-	复杂工业场景

更多资源：

https://www.kdocs.cn/l/cvk0eoGYucWA

本文发表于【纪元A梦】！