向量空间的练习题目

1.考虑

中的向量x1=

和x2=

求每一向量的长度

令x3=x1+x2,求x3的长度，它的长度与x1和x2的和有什么关系？

2.重复练习1，取向量

3.令C为复数集合，定义C上的加法为

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

并定义标量乘法为对所有实数a

(a+bi)=

a+

bi

证明：在这些运算下，C为向量空间。

4.证明

连同通常的矩阵加法和标量乘法满足向量空间的8个公理

5.证明：C[a, b]连同通常的函数标量乘法和加法满足向量空间的8个公理。

6.令P为所有多项式的集合，证明：P连同通常的函数加法和标量乘法构成向量空间。

7.证明：0元素在向量空间中是唯一的。