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图论核心：深度搜索DFS 与广度搜索BFS

article 2025/9/10 22:49:43

一、深度优先搜索（DFS）：一条路走到黑的探索哲学

1. 算法核心思想
DFS（Depth-First Search）遵循 “深度优先” 原则，从起始节点出发，尽可能深入地访问每个分支，直到无法继续时回溯，尝试其他路径。这种策略类似走迷宫时 “不撞南墙不回头” 的探索方式，通过递归或栈结构实现路径的遍历与回溯。

2. 经典场景：全排列问题（字典序输出）
问题描述：给定整数 n，按字典序输出 1~n 的所有排列。
算法分析：

用ans数组记录当前排列，mark数组标记数字是否已使用。
递归函数dfs(u)表示填充第 u 位数字，通过枚举 1~n 的未使用数字，递归构建全排列。
回溯时需清除标记，确保数字可重复选择（不同排列路径）。

C++ 代码实现：

cpp

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int ans[N], n;
bool mark[N]; // 标记数字是否已使用void dfs(int u) {if (u == n) { // 递归终止条件：填满所有位置for (int i = 0; i < n; i++) cout << ans[i];cout << endl;return;}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!mark[i]) { // 选择未使用的数字mark[i] = true;ans[u] = i;dfs(u + 1); // 递归填充下一位mark[i] = false; // 回溯：清除标记ans[u] = 0; // 重置当前位}}
}int main() {cin >> n;dfs(0);return 0;
}

3. 算法特性与应用

空间效率：递归深度为图的高度，最坏情况下需 O (n) 空间（如树退化为链表）。
典型应用：
- 拓扑排序（有向无环图 DAG）
- 连通分量检测（无向图）
- 路径搜索与环检测

二、广度优先搜索（BFS）：层次扩展的最短路径探索

1. 算法核心思想
BFS（Breadth-First Search）以 “层” 为单位遍历图，从起始节点出发，先访问所有相邻节点（第一层），再依次访问下一层节点。这种策略确保首次访问某节点时路径最短，因此天然适用于最短路径问题。

2. 经典场景：迷宫最短路径
问题描述：在 n×m 的迷宫中，从左上角 (0,0) 到右下角 (n-1,m-1)，求最少移动次数（0 可走，1 为墙）。
算法分析：

使用队列实现层次遍历，mark数组记录到达各点的步数（初始为 - 1 表示未访问）。
方向向量dx/dy定义上下左右移动，每次从队列取出当前节点，向四个方向扩展新节点。
首次到达终点时的步数即为最短路径（BFS 的层次特性保证）。

C++ 代码实现：

cpp

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII; // 坐标对
const int N = 110;
int map[N][N], mark[N][N]; // map存储迷宫，mark存储步数
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1}; // 上下左右方向
int n, m;void bfs() {memset(mark, -1, sizeof mark); // 初始化步数为-1queue<PII> q;q.push({0, 0}); // 起点入队mark[0][0] = 0; // 起点步数为0while (!q.empty()) {PII top = q.front(); // 取出当前节点q.pop();for (int i = 0; i < 4; i++) { // 遍历四个方向int nx = top.first + dx[i], ny = top.second + dy[i];// 检查边界、是否可通行、是否未访问if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < m && map[nx][ny] == 0 && mark[nx][ny] == -1) {mark[nx][ny] = mark[top.first][top.second] + 1; // 步数+1q.push({nx, ny}); // 新节点入队if (nx == n - 1 && ny == m - 1) return; // 提前终止（找到终点）}}}
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < m; j++)cin >> map[i][j];bfs();cout << mark[n-1][m-1] << endl; // 输出最短步数return 0;
}

3. 关键细节解析

队列的作用：保证按层遍历，先入队的节点先处理，确保首次访问即最短路径。
方向向量：通过数组统一管理移动方向，避免重复编写坐标变换代码。
标记数组的双重功能：既记录是否访问过，又存储最短步数，空间效率更高。

三、DFS 与 BFS 对比与选型建议

特性	DFS	BFS
遍历方式	深度优先，递归 / 栈实现	广度优先，队列实现
空间复杂度	O (深度)（可能栈溢出）	O (宽度)（适合大规模图需优化）
最短路径	不适用（非层次遍历）	天然支持（首次访问即最短路径）
典型场景	全排列、拓扑排序、环检测	最短路径、社交网络最近邻搜索