贪心算法应用：Ford-Fulkerson最大流问题详解

Java中的贪心算法应用：Ford-Fulkerson最大流问题详解

1. 最大流问题概述

最大流问题（Maximum Flow Problem）是图论中的一个经典问题，旨在找到一个从源节点（source）到汇节点（sink）的最大流量。Ford-Fulkerson方法是解决最大流问题的经典算法之一，它属于贪心算法的范畴。

1.1 问题定义

给定一个有向图G=(V,E)，其中：

• V是顶点集
• E是边集
• 每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0
• 有两个特殊顶点：源点s和汇点t

目标是找到从s到t的最大流量，满足：

1. 容量约束：对于所有边(u,v)，流量f(u,v)≤c(u,v)
2. 流量守恒：对于所有顶点u∈V-{s,t}，流入u的流量等于流出u的流量

2. Ford-Fulkerson算法原理

Ford-Fulkerson算法基于以下关键概念：

2.1 残差网络（Residual Network）

对于给定的流网络G和流量f，残差网络G_f由可以容纳更多流量的边组成。对于每条边(u,v)∈E：

• 如果f(u,v) < c(u,v)，则在G_f中包含一条边(u,v)，其残差容量为c_f(u,v) = c(u,v) - f(u,v)
• 如果f(u,v) > 0，则在G_f中包含一条反向边(v,u)，其残差容量为c_f(v,u) = f(u,v)

2.2 增广路径（Augmenting Path）

增广路径是残差网络G_f中从s到t的一条简单路径。路径的瓶颈容量是该路径上边的最小残差容量。

2.3 算法步骤

1. 初始化：对所有(u,v)∈E，设f(u,v)=0
2. 在残差网络G_f中寻找一条从s到t的增广路径
3. 如果存在增广路径：
   • 计算路径的瓶颈容量
   • 沿着路径增加流量
   • 更新残差网络
   • 重复步骤2
4. 如果不存在增广路径，算法终止，当前流即为最大流

3. Java实现详解

下面我们将用Java完整实现Ford-Fulkerson算法，包括辅助数据结构。

3.1 图表示

首先定义图的表示方式，这里使用邻接矩阵：

public class FordFulkerson {private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;private int[][] capacity; // 容量矩阵private int[][] flow;     // 流量矩阵private int[] parent;     // 用于BFS查找路径private boolean[] visited; // 访问标记private int numVertices;  // 顶点数量public FordFulkerson(int numVertices) {this.numVertices = numVertices;this.capacity = new int[numVertices][numVertices];this.flow = new int[numVertices][numVertices];this.parent = new int[numVertices];this.visited = new boolean[numVertices];}public void addEdge(int u, int v, int cap) {capacity[u][v] = cap;}
}

3.2 BFS实现查找增广路径

Ford-Fulkerson算法可以使用BFS（此时称为Edmonds-Karp算法）来查找增广路径：

private boolean bfs(int source, int sink) {Arrays.fill(visited, false);Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();queue.add(source);visited[source] = true;parent[source] = -1;while (!queue.isEmpty()) {int u = queue.poll();for (int v =