动态规划应用场景 + 代表题目清单（模板加上套路加上题单）

1. 序列型DP（Sequence DP）

✅ 应用场景

• 单个或多个序列（数组/字符串），求最优子结构。

• 常见问题：最长递增子序列、最长公共子序列、回文子序列。

🧠 套路总结

• 单序列：dp[i] = max(dp[j]) + 1 (j < i 且 nums[j] < nums[i])

• 双序列：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]+1) 依赖匹配关系

🧪 代表题目

1.1 最长递增/最长递减子序列

• 题目举例

  • LeetCode 300. Longest Increasing Subsequence

  • LeetCode 674. Longest Continuous Increasing Subsequence

  • LeetCode 646. Maximum Length of Pair Chain

  • LeetCode 376. Wiggle Subsequence

1.2 最长公共子序列/子串

• 题目举例

  • LeetCode 1143. Longest Common Subsequence

  • LeetCode 1092. Shortest Common Supersequence

  • LeetCode 718. Maximum Length of Repeated Subarray

1.3 回文子序列/子串

• 题目举例

  • LeetCode 516. Longest Palindromic Subsequence

  • LeetCode 5. Longest Palindromic Substring

  • LeetCode 647. Palindromic Substrings

1.4 编辑距离和相似度

• 题目举例

  • LeetCode 72. Edit Distance

  • LeetCode 583. Delete Operation for Two Strings

🧩 Go 模板

for i := 1; i < n; i++ {for j := 0; j < i; j++ {if condition {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + val)}}
}

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2. 背包型DP（Knapsack DP）

✅ 应用场景

• 有物品、价值、容量的选择问题。

• 子类型：0/1背包、完全背包、多重背包。

🧠 套路总结

// 0/1 背包（从大到小）
for i := 0; i < n; i++ {for j := cap; j >= weight[i]; j-- {dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])}
}// 完全背包（从小到大）
for i := 0; i < n; i++ {for j := weight[i]; j <= cap; j++ {dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])}
}

🧪 代表题目

2.1 0/1背包问题

• 题目举例

  • LeetCode 416. Partition Equal Subset Sum

  • LeetCode 1049. Last Stone Weight II

  • LeetCode 474. Ones and Zeroes

2.2 完全背包问题

• 题目举例

  • LeetCode 518. Coin Change II

  • LeetCode 322. Coin Change

  • LeetCode 139. Word Break

2.3 多重背包、分组背包等变形

• 题目举例

  • LeetCode 698. Partition to K Equal Sum Subsets

  • LeetCode 474. Ones and Zeroes (也包含组背包思想)

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3. 区间型DP（Interval DP）

✅ 应用场景

• 合并区间、回文判断，求最优合并方案。

• 状态：dp[i][j]表示区间[i,j]的最优值。

🧠 套路总结

for length := 2; length <= n; length++ {for i := 0; i <= n-length; i++ {j := i + length - 1for k := i; k < j; k++ {dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j])}}
}

🧪 代表题目

3.1 合并区间与括号相关

• 题目举例

  • LeetCode 312. Burst Balloons

  • LeetCode 1000. Minimum Cost to Merge Stones

  • LeetCode 544. Output Contest Matches

3.2 回文串判定与划分

• 题目举例

  • LeetCode 5. Longest Palindromic Substring

  • LeetCode 132. Palindrome Partitioning II

  • LeetCode 131. Palindrome Partitioning

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4. 状态压缩DP（Bitmask DP）

✅ 应用场景

• 元素子集、排列组合、旅行商问题等。

• 状态数 ≈ 2^n（n ≤ 20）

🧠 套路总结

for mask := 0; mask < (1<<n); mask++ {for i := 0; i < n; i++ {if (mask&(1<<i)) == 0 {newMask := mask | (1 << i)dp[newMask] = min(dp[newMask], dp[mask]+cost[prev][i])}}
}

🧪 代表题目

4.1 旅行商（TSP）

• 题目举例

  • LeetCode 847. Shortest Path Visiting All Nodes

  • LeetCode 1129. Shortest Path with Alternating Colors

4.2 子集划分和集合覆盖

• 题目举例

  • LeetCode 698. Partition to K Equal Sum Subsets

  • LeetCode 1269. Number of Ways to Stay in the Same Place After Some Steps

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5. 树形DP（Tree DP）

✅ 应用场景

• 状态在树上自底向上传递，依赖子树结构。

🧠 套路总结

func dfs(node *TreeNode) (rob, notRob int) {if node == nil {return 0, 0}leftRob, leftNot := dfs(node.Left)rightRob, rightNot := dfs(node.Right)rob = node.Val + leftNot + rightNotnotRob = max(leftRob, leftNot) + max(rightRob, rightNot)return
}

🧪 代表题目

• 5.1 树上选点问题

• 题目举例

  • LeetCode 337. House Robber III

  • LeetCode 87. Scramble String (也用树形DP思想)

• 题目举例

  • LeetCode 124. Binary Tree Maximum Path Sum

  • LeetCode 968. Binary Tree Cameras

• 5.2 树上路径问题

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6. 计数型DP（Counting DP）

✅ 应用场景

• 统计路径、方案数、组合数。

🧠 套路总结

for i := 0; i < m; i++ {for j := 0; j < n; j++ {if i > 0 {dp[i][j] += dp[i-1][j]}if j > 0 {dp[i][j] += dp[i][j-1]}}
}

🧪 代表题目

• 6.1 路径计数

• 题目举例

  • LeetCode 62. Unique Paths

  • LeetCode 63. Unique Paths II

• 6.2 组合计数

• 题目举例

  • LeetCode 70. Climbing Stairs

  • LeetCode 639. Decode Ways II

• 题目举例

  • LeetCode 377. Combination Sum IV

• 6.3 排列计数

  • LeetCode 377. Combination Sum IV

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7. 概率型DP（Probability DP）

✅ 应用场景

• 求概率、期望值。

🧠 套路总结

for k := 1; k <= K; k++ {for i := 0; i < N; i++ {for j := 0; j < N; j++ {for _, dir := range dirs {ni, nj := i+dir[0], j+dir[1]if inBounds(ni, nj) {dp[k][i][j] += dp[k-1][ni][nj] / 8.0}}}}
}

🧪 代表题目

7.1 马尔可夫过程概率计算

• 题目举例

  • LeetCode 688. Knight Probability in Chessboard

  • LeetCode 837. New 21 Game

7.2 期望值计算

• 题目举例

  • LeetCode 470. Implement Rand10() Using Rand7()

✅ 8. 子串 / 子序列问题

多用于字符串匹配、编辑距离等

🔹 场景：

• 最长公共子序列、子串

• 编辑距离

• 回文子序列

🔸 代表题目：

题号	名称
1143	Longest Common Subsequence
72	Edit Distance
5	Longest Palindromic Substring

📌 模板结构：

if s[i] == t[j] {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
} else {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
}