高等数学-积分

一、不定积分

定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F(x)，使得F'(x)=f(x) ，x∈I

简单地说：连续函数必有原函数。

极限lim*0->x {[∫*0^x sin(t^2)dt]/x^3}=1/3

变上限积分∫*π/2^x (sint/t)'dt=(sinx)/x-π/2

注：（1）若等式两边函数相等(自变量都是x)，则等号两边同时求不定积分，等号仍成立。

例：

（2）积分是逆转求导：∫(dy/dx) dx=y 

二、定积分

(1)可积的两个充分条件：

定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，并且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

如不作特别的说明，往后总假定所讨论的定积分是存在的。

(2)定积分的基本性质

 

（3）定积分的换元法与分部积分法

a.换元法

该定理告诉我们：在一定条件下，dx可以作为微分记号来对待，即应用换元公式(1)时，如果将积分变量x换为φ(x)，则dx就换成φ'(t)dt，这正好是函数x=φ(t)的微分

注：

1)换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用x=φ(t)把原来的变量换成了新变量t，积分限也必须换成新变量t的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，原来上限对应的参数做上限。

2)不要求x=φ(t)单调，从而其反函数也可以不存在。

b.分部积分法

例1：

1/3y^3*e^(-y^2)求原函数？

例2：

-2∫*0^2π asin2a da=acos2a |*0^2π-∫*0^2π cos2a da

三、微积分基本公式

(1)变上限积分

变上限积分求导证明？？ 

(2)微积分学基本公式(牛莱公式)：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

证明：由已知及2中的定理，函数F(x)和Φ(x)=∫*a^x f(t)dt都是函数f(x)在区间[a,b]上的原函数，从而F(x)-Φ(x)=C(x∈[a,b]),其中C为一个常数。

令x=a得F(a)-Φ(a)=C.又由于Φ(a)=0,所以C=F(a)，代入上式得Φ(x)=F(x)-F(a)(x∈[a,b]),即∫*a^x f(t)dt=F(x)-F(a)(x∈[a,b]).特别地，当x=b时，即有∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

该公式又可以写成：

这个公式告诉我们：要计算连续函数f(x)的定积分

，只需先求出f(x)的任何一个原函数F(x)，然后将F(x)在积分上限的值减去F(x)在积分下限的值即可。

四、求定积分

1）∫*0^π/2 (sinx)^2cosxdx=∫0^π/2 (sinx)^2dsinx=1/3(sinx)^3 |0^π/2=1/3

2）∫*0^1/2 dx/[√x(1-x)]=∫*0^1/2 [1/√(1-x)*]·1/√xdx=2∫*0^1/2 d(√x)/[1-(√x)^2]=2arcsin(√x) |*0^1/2=2arcsin(√2/2)=π/2

五、二重积分

(1)二重积分的性质：

例1:

例2:

利用二重积分计算下面图形的面积：由抛物线y^=2x与直线y=x-4所围成的平面图形。

解：

解方程组得到抛物线y^=2x与直线y=x-4的两个交点为(2,-2)，(8,4)

先对x、后对y积分：

被积区域：-2

平面图形的面积：∫∫1dxdy=∫*-2^4 dy∫*(y^2)/2^(y+4) dx=∫*-2^4 [(y+4)-(y^2)/2]dy=18

当被积函数f(x,y)=1时，计算二重积分就相当于计算被积区域的面积

(2)极坐标

一般来说，当积分区域D为圆形、扇形、或环形闭区域时，而被积函数含有x^2+y^2或者arctan(y/x)等式子时，用极坐标计算二重积分往往比较简单。

注：[(sina)^3]'=1/3[cosa)^3]-cosa

结论：(1)∫0->+∞* e^[-x^2]dx=(√π)/2

           (2)∫-∞->+∞* e^[-x^2]dx=√π

六、三重积分

(1)对称奇偶性

(2)三重积分的计算

（3）[d(e^-∫P(x)dx)]/dx=-P(x)e^-∫P(x)dx