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【动态规划】P10988 [蓝桥杯 2023 国 Python A] 走方格|普及+

article 2025/9/13 11:14:03

本文涉及知识点

C++动态规划

P10988 [蓝桥杯 2023 国 Python A] 走方格

题目描述

给定一个 $N$ 行 $N$ 列的方格，第 $i$ 行第 $j$ 列的方格坐标为 $(i, j)$ ，高度为
$H_{i,j}$ 。小蓝从左上角坐标 $(0, 0)$ 出发，目的地是右下角坐标 $(N - 1, N - 1)$ 。
当小蓝位于第 $r$ 行第 $c$ 列时，他有如下的移动方式：

若 $r + 1 < N$ ，可以移动到 $(r + 1, c)$ ，花费 $1$ 秒；
若 $c + 1 < N$ ，可以移动到 $(r, c + 1)$ ，花费 $1$ 秒；
对于任意整数 $L$ ，若 $H_{r,c} > H_{r,c+1} > \cdots > H_{r,c+L}$ ，可以移动到 $(r, c + L)$ ，花费 $1$ 秒；
对于任意整数 $L$ ，若 $H_{r,c} > H_{r,c−1} > \cdots > H_{r,c−L}$ ，可以移动到 $(r, c - L)$ ，花费 $1$ 秒。

现在给出方格，请问小蓝从 $(0, 0)$ 移动到 $(N - 1, N - 1)$ 最少需要多少秒？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $N$ 表示方格大小。
接下来 $N$ 行，每行包含 $N$ 个整数，表示每个方格上的数字。

输出格式

输出一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

对于 $20\%$ 的评测用例， $\le N \le 10$ ；

对于 $50\%$ 的评测用例， $\le N \le 100$ ；

对于所有评测用例， $\le N \le 1000,0 \le H_{i, j} \le 100$ 。

样例解释

移动顺序为： $0)\rightarrow (1, 0)\rightarrow(2, 0)\rightarrow(3, 0)\rightarrow(3, 2)\rightarrow(3, 3)$ ，其中坐标 $(3, 0), (3, 1), (3, 2)$ 处的数字分别为 $9 > 8 > 0$ ，所以可以花费 $1$ 秒从 $(3, 0)$
移动到 $(3, 2)$ 。

动态规划

性质一：方式四没意义。假定某方案利用方式四左滑到(r,c)。则
一，取消此步。
二，取消超过c的右移。
三，如果右滑超过c，右滑到c。
更少的步数可以到达(r,c)。

动态规划的状态表示

dp[r][c]表示到达(r,c)的最少步数。
dp2[r][c]表示最后一步右滑到(r,c)的最少步数。空间复杂度：O(NN)

动态规划的填表顺序

枚举前驱状态(r,c) r=0 < R ,c = 0 < C

动态规划的转移方程

如果 $r + 1 < R$
MinSelf(dp[r+1][c],dp[r][c]+1) 下移
如果 $c + 1 < C$
MinSelf(dp[r][c+1],dp[r][c]+1) 右移
如果 $c + 1 < C g r i d [r] [c] > g r i d [r] [c + 1]$ 右滑
MinSelf(dp2[r][c+1],dp2[r][c]) 接着滑
MinSelf(dp2[r][c+1],dp[r][c]+1) 从头开始滑
MinSelf(dp[r][c+1],dp2[r][c+1]) 更新dp
时间复杂度：O(NN)

动态规划的初始值

dp2全部是INT_MAX/2。
dp[0][0]是0,其他全部是INT_MAX/2

动态规划的返回值

dp.back().back()

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class Solution {
public:int Ans(vector<vector<int>>& grid) {const int N = grid.size();vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(N, INT_MAX / 2));auto dp2 = dp;dp[0][0] = 0;for (int r = 0; r < N; r++) {for (int c = 0; c < N; c++) {if (r + 1 < N) {dp[r + 1][c] = min(dp[r + 1][c], dp[r][c] + 1);}if (c + 1 < N) {dp[r][c + 1] = min(dp[r][c + 1], dp[r][c] + 1);if (grid[r][c] > grid[r][c + 1]) {dp2[r][c + 1] = min(dp2[r][c], dp[r][c] + 1);dp[r][c + 1] = min(dp[r][c + 1], dp2[r ][c + 1]);}}}}return dp.back().back();}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;int N;cin >> N ;vector<vector<int>> grid(N);for (int i = 0; i < N; i++) {grid[i] = Read<int>(N);}			
#ifdef _DEBUG	//printf("N=%d,W=%d,H=%d", N,W,H);//Out(c, ",c=");//Out(que, ",que=");//Out(grid, ",grid=");Out(grid, ",grid=");//Out(rr, ",rr=");//Out(ab, ",ab=");//Out(par, "par=");//Out(que, "que=");//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(grid);cout << res << "\n";return 0;
};

单元测试

vector<vector<int>> grid;TEST_METHOD(TestMethod11){grid = { {0,1,9,3},{2,9,3,7},{8,4,8,9},{9,8,0,7} };auto res = Solution().Ans(grid);AssertEx(5, res);}

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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